[论文解读] A Locking-Free Weak Galerkin Finite Element Method for Elasticity Problems in the Primal Formulation

Chunmei Wang, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种在一般多边形/多面体网格上针对线性弹性力学的无锁死、任意阶次弱伽辽金有限元方法，采用原初变分形式。通过在每个单元上通过局部问题引入离散弱应变和应力张量，该方法在 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下均实现了最优收敛率，且在不同泊松比下表现稳健，包括接近不可压缩极限的情形。

ABSTRACT

This paper presents an arbitrary order locking-free numerical scheme for linear elasticity on general polygonal/polyhedral partitions by using weak Galerkin (WG) finite element methods. Like other WG methods, the key idea for the linear elasticity is to introduce discrete weak strain and stress tensors which are defined and computed by solving inexpensive local problems on each element. Such local problems are derived from weak formulations of the corresponding differential operators through integration by parts. Locking-free error estimates of optimal order are derived in a discrete $H^1$-norm and the usual $L^2$-norm for the approximate displacement when the exact solution is smooth. Numerical results are presented to demonstrate the efficiency, accuracy, and the locking-free property of the weak Galerkin finite element method.

研究动机与目标

• 开发一种针对线性弹性力学的鲁棒无锁死有限元方法，即使当泊松比趋近于 0.5（近似不可压缩材料）时仍保持高精度。
• 将弱伽辽金有限元方法扩展至一般多边形/多面体剖分下线性弹性力学的原初变分形式，且支持任意多项式阶次。
• 确保对光滑解在离散 $H^1$-范数和 $L^2$-范数下均实现最优收敛速率，且不依赖于拉梅常数 $\lambda$。
• 通过在均匀与非均匀多边形网格上的数值实验，展示该方法的鲁棒性与准确性。
• 提供与材料参数 $\lambda$ 无关的严格无锁死误差估计。

提出的方法

• 通过在每个单元上利用分部积分构造局部变分问题，定义离散弱梯度与弱应变，采用弱伽辽金有限元技术。
• 通过在每个单元上求解计算量小的局部问题，计算离散弱应变和应力张量，实现微分算子的局部重构。
• 利用类似混合有限元的弱弱变分形式组装全局离散系统，其中位移在单元和边/面上由不连续多项式空间近似。
• 该方法使用两类有限元空间：基于 $P_k(T)/P_{RM}(e)$ 的 $V_h$ 和基于 $P_k(T)/P_k(e)$ 的 $\bar{V}_h$，以实现不同阶次的逼近。
• 构造离散双线性形式，以弱方式强制对称应力-应变关系与力的平衡，确保稳定性与一致性。
• 该方法以原初形式进行表述，直接求解位移，无需引入混合变量，同时保持无锁死行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为线性弹性力学在原初变分形式下构造一种弱伽辽金有限元方法，使其在一般多边形/多面体网格上对任意多项式阶次均保持无锁死特性？
• RQ2 所提出的该方法是否在所有测试的拉梅常数 $\lambda$ 下，对光滑解均实现 $H^1$-和 $L^2$-范数下的最优收敛速率？
• RQ3 当泊松比趋近于 0.5（即在近似不可压缩区域）时，该方法在数值上表现如何？
• RQ4 能否以一种确保稳定性与最优收敛性的方式构造离散弱梯度与应变算子，而无需要求连续性条件？
• RQ5 当精确解光滑且拉梅常数 $\lambda$ 在大范围内变化时，该方法的收敛行为如何？

主要发现

• 该方法在离散 $H^1$-范数下实现 $k+1$ 阶最优收敛率，在 $L^2$-范数下也实现 $k+1$ 阶最优收敛率，其中 $k$ 为多项式次数。
• 数值结果表明，所有测试的 $\lambda = 1, 100, 10,000, 1,000,000$ 值下，收敛率均保持最优且稳定，证实了无锁死特性。
• 对于基于 $P_1(T)/P_{RM}(e)$ 的 $V_h$，$L^2$-误差收敛阶约为 1.96–1.98，$H^1$-范数误差收敛阶约为 1.91–1.96，趋近于最优阶。
• 对于基于 $P_1(T)/P_1(e)$ 的 $\bar{V}_h$，$L^2$-误差收敛阶约为 1.96–1.98，$H^1$-范数误差收敛阶约为 1.90–1.96，同样趋近于最优收敛。
• 离散能量范数 $|||\mathbf{u}_h - Q_h\mathbf{u}|||$ 的收敛阶约为 0.97–0.99，表明在能量型误差度量下具有鲁棒性。
• 该方法在不同网格加密与拉梅参数下均保持一致的收敛行为，且当 $\lambda \to \infty$ 时精度无下降，证实了无锁死特性。