[论文解读] Weak Galerkin Finite Element Methods for the Biharmonic Equation on Polytopal Meshes
本文提出了一种新颖的弱伽辽金有限元方法，用于在一般多胞形网格上求解双调和方程，采用不连续分段多项式。该方法在离散 $H^2$ 范数下达到最优收敛率，在 $L^2$ 范数下根据多项式次数达到最优或次优收敛率，且具有对称、正定且无参数的公式化形式。
A new weak Galerkin (WG) finite element method is introduced and analyzed in this paper for the biharmonic equation in its primary form. This method is highly robust and flexible in the element construction by using discontinuous piecewise polynomials on general finite element partitions consisting of polygons or polyhedra of arbitrary shape. The resulting WG finite element formulation is symmetric, positive definite, and parameter-free. Optimal order error estimates in a discrete $H^2$ norm is established for the corresponding WG finite element solutions. Error estimates in the usual $L^2$ norm are also derived, yielding a sub-optimal order of convergence for the lowest order element and an optimal order of convergence for all high order of elements. Numerical results are presented to confirm the theory of convergence under suitable regularity assumptions.
研究动机与目标
- 开发一种灵活且鲁棒的双调和方程有限元方法，避免对 $C^1$-连续有限元空间的需求。
- 克服在一般多边形或多面体网格上构造 $H^2$-协调元所面临的计算困难。
- 为适用于任意形状单元的弱伽辽金公式建立严谨的数学收敛理论。
- 确保所得格式具有对称性、正定性且不含用户定义的参数。
提出的方法
- 引入离散弱拉普拉斯算子 $\Delta_w$ 以替代变分公式中的经典拉普拉斯算子。
- 在具有任意形状正则性的通用多胞形网格上使用不连续分段多项式。
- 引入稳定项 $s(u_h, v)$ 以强制离散解的弱连续性。
- 构建对称、正定且无参数的弱伽辽金公式：$(\Delta_w u_h, \Delta_w v) + s(u_h, v) = (f, v)$。
- 采用局部 $L^2$ 投影算子推导收敛性分析所需的逼近性质。
- 应用域逆不等式和形状正则性假设，以控制一般单元上多项式范数的上界。
实验结果
研究问题
- RQ1弱伽辽金有限元方法是否能在不依赖 $C^1$-连续性的情况下，于一般多胞形网格上对双调和方程实现最优收敛？
- RQ2对于任意阶次的多项式逼近，WG 方法在离散 $H^2$ 范数下的收敛行为如何？
- RQ3该方法在标准 $L^2$ 范数下的表现如何，特别是对于最低阶元？
- RQ4能否将该方法公式化为对称、正定且不含用户调节参数的形式？
- RQ5在一般网格上支持收敛性分析所需的必要逼近不等式和逆不等式是什么？
主要发现
- 在所有多项式次数下，均建立了离散 $H^2$ 范数下的最优阶误差估计。
- 对于最低阶元，该方法在 $L^2$ 范数下达到次优收敛率。
- 所有高阶元均在 $L^2$ 范数下达到最优收敛阶。
- 该方法具有对称性、正定性且无参数，确保了鲁棒性与实现的简便性。
- 数值实验在适当正则性假设下验证了理论收敛速率。
- 关键的逆不等式，包括在形状正则单元上多项式成立的域逆不等式，均经过严格推导并在分析中得以应用。
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