[论文解读] D-SOLUTIONS TO THE SYSTEM OF VECTORIAL CALCULUS OF VARIATIONS IN L ∞ VIA THE BAIRE CATEGORY METHOD FOR THE SINGULAR VALUES

Gisella Croce, Nikos Katzourakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2016

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 16

一句话总结

本文通过Dacorogna-Marcellini的Baire范畴法，将D-解引入到L∞中向量变分法的完全非线性系统，无需凸性假设即建立了W^{1,∞}-子mersions作为上确界泛函临界点的存在性。该研究证明了在一般维度n ≠ N下，奇异值问题强解存在的新颖结果。

ABSTRACT

For $\mathrm{H}\in C^2(\mathbb{R}^{N imes n})$ and $u :\Omega \subset \mathbb{R}^n o \mathbb{R}^N$, consider the system \[ \label{1} \mathrm{A}_\infty u\, :=\,\Big(\mathrm{H}_P \otimes \mathrm{H}_P + \mathrm{H}[\mathrm{H}_P]^\bot \mathrm{H}_{PP}\Big)(D u):D^2u\, =\,0. ag{1} \] The PDE system \eqref{1} is associated to the supremal functional \[ \label{2} \mathrm{E}_\infty(u,\Omega')\, =\, \big\| \mathrm{H}(D u)\big\|_{L^\infty(\Omega')}, u\in W^{1,\infty}_{ ext{loc}}(\Omega,\mathbb{R}^N), \Omega'\Subset \Omega, ag{2} \] and first arose in recent work of the 2nd author as the analogue of the Euler-Lagrange equation. Herein we employ the Dacorogna-Marcellini Baire Category method to construct $\mathcal{D}$-solutions to the Dirichlet problem for \eqref{1}, an apt notion of generalised solutions recently proposed for fully nonlinear systems. Our $\mathcal{D}$-solutions to \eqref{1} are $W^{1,\infty}$-submersions corresponding to ``critical points of \eqref{2} and are obtained without any convexity hypotheses. Along the way we establish a result of independent interest by proving existence of strong solutions to the singular value problem for general dimensions $n eq N$.

研究动机与目标

• 为源自L∞中上确界泛函的完全非线性系统发展一种广义解概念，即D-解。
• 在不假设哈密顿量H凸性的前提下，解决系统A∞u = 0的Dirichlet问题。
• 在一般维度n ≠ N下，建立奇异值问题强解的存在性。
• 将Dacorogna-Marcellini的Baire范畴法扩展至L∞设定下的向量系统。
• 在缺乏凸性的情况下，为上确界泛函E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}的临界点提供一个框架。

提出的方法

• 采用Dacorogna-Marcellini的Baire范畴法，构造系统A∞u = 0的D-解。
• 利用PDE系统A∞u := (HP ⊗ HP + H[HP]^⊥ HPP)(Du) : D²u = 0作为上确界泛函E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}在W^{1,∞}_{loc}(Ω,ℝ^N)中的Euler-Lagrange方程。
• 应用Baire范畴法，在W^{1,∞}-子mersions空间中构造解。
• 在缺乏凸性条件下，基于广义解（D-解）的框架处理完全非线性系统。
• 证明在任意维度n ≠ N下，奇异值问题强解的存在性，且独立于标准凸性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在H无凸性假设下，能否为向量A∞-系统构造D-解？
• RQ2 Baire范畴法如何适配至L∞中向量变分法？
• RQ3 当n ≠ N时，奇异值问题强解的存在性状态如何？
• RQ4 W^{1,∞}-子mersions是否对应于上确界泛函E∞(u,Ω')的临界点？
• RQ5 Du的奇异值在A∞-系统结构中起何作用？

主要发现

• 在H无任何凸性假设下，成功构造了系统A∞u = 0在W^{1,∞}中的D-解。
• Baire范畴法成功扩展至L∞中向量变分法的设定，从而获得广义解。
• 在一般维度n ≠ N下，建立了奇异值问题强解存在的新结果。
• 所构造的解为W^{1,∞}-子mersions，且在缺乏凸性条件下实现了上确界泛函E∞(u,Ω') = ||H(Du)||_{L∞(Ω')}的临界点。
• 系统A∞u = 0被识别为向量情形下上确界泛函的自然Euler-Lagrange方程。