[论文解读] A program to test the p-rationality of any number field

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一种快速的 PARI/GP 程序，用于测试由首一不可约多项式定义的任意数域 $K$ 的 $p$-有理性，其依据是模 $p^2$（当 $p=2$ 时为 8）的ray类群作为表征。主要贡献在于开发了一种计算工具，可高效验证 $p$-有理性，支持关于伽罗瓦表示和 Iwasawa 理论的猜想，并应用于二次域和 $p$-有理性密度问题。

ABSTRACT

Let K be a number field. We prove that its ray class group modulo p 2 (resp. 8) if p > 2 (resp. p = 2) characterizes its p-rationality. Then we give two short, very fast PARI Programs (§§3.1, 3.2) testing if K (defined by an irreducible monic polynomial) is p-rational or not. For quadratic fields we verify some densities related to Cohen-Lenstra-Martinet ones and analyse Greenberg's conjecture on the existence of p-rational fields with Galois groups (Z/2Z) t needed for the construction of some Galois representations with open image. We give examples for p = 3, t = 5 and t = 6 (§§5.1, 5.2) and illustrate other approaches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). We conclude about the existence of imaginary quadratic fields, p-rational for all p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen on the concept of "minimal absolute abelian Galois group") which may enlighten a conjecture of p-rationality (Hajir-Maire) giving large Iwasawa $μ$-invariants of some uniform prop groups. R{é}sum{é} Soit K un corps de nombres. Nous montrons que son corps de classes de rayon modulo p 2 (resp. 8) si p > 2 (resp. p = 2) caract{é}rise sa p-rationalit{é}. Puis nous donnons deux courts programmes PARI (§§3.1, 3.2) trs rapides testant si K (d{é}fini par un polyn{ô}me irr{é}ductible uni-taire) est p-rationnel ou non. Pour les corps quadratiques nous v{é}rifions certaines densit{é}s en relation avec celles de Cohen-Lenstra-Martinet et nous analysons la conjecture de Greenberg sur l'existence de corps p-rationnels de groupes de Galois (Z/2Z) t n{é}cessaires pour la construction de certaines repr{é}sentations galoisiennes d'image ouverte. Nous donnons des exemples pour p = 3, t = 5 et t = 6 (§§5.1, 5.2) et il-lustrons d'autres approches (Pitoun-Varescon, Barbulescu-Ray). Nous concluons sur l'existence de corps quadratiques imaginaires p-rationnels pour tout p $\ge$ 2 (Angelakis-Stevenhagen sur le concept de "groupe de Galois ab{é}lien absolu minimal") qui peut{é}clairerpeut{é}clairer une conjecture de p-rationalit{é} (Hajir-Maire) donnant de grands invariants $μ$ d'Iwasawa relatifs {à} certains prop -groupes uniformes.

研究动机与目标

• 开发一种实用的计算方法，用于测试具有复杂 $p$-进结构的数域的 $p$-有理性。
• 验证关于二次域中 $p$-有理性密度的理论预测，与 Cohen–Lenstra–Martinet 猜测相关。
• 提供伽罗瓦群为 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^t$（$t=5,6$ 且 $p=3$）的 $p$-有理域的显式例子，支持 Greenberg 的猜想。
• 探索是否存在对所有 $p \geq 2$ 都是 $p$-有理的虚二次域，与最小绝对阿贝尔伽罗瓦群概念相关。
• 将 $p$-有理性与统一的 pro-$p$ 群中大的 Iwasawa $\mu$-不变量联系起来，符合 Hajir–Maire 的猜想。

提出的方法

• 本文使用模 $p^2$（当 $p=2$ 时为 8）的 ray 类群作为 $p$-有理性的表征，替代了完整类域论计算的需求。
• 实现了两个简短且高度优化的 PARI/GP 程序（第 §§3.1, 3.2 节），用于计算相关的 ray 类群并检验挠群 $\mathcal{T}_K$ 的平凡性。
• 该方法依赖于如下等价关系：$K$ 是 $p$-有理的 $\iff$ Leopoldt 猜想成立且 $\mathcal{T}_K = 1$，其中 $\mathcal{T}_K = \mathrm{tor}_{\mathbb{Z}_p}(\mathrm{Gal}(H_K^{\rm pr}/K))$。
• 通过精确序列计算归一化的 $p$-进正规子群：$1 \to \mathcal{W}_K \to \mathrm{tor}_{\mathbb{Z}_p}(U_K / \overline{E}_K) \xrightarrow{\log} \mathcal{R}_K \to 0$，该序列将 $p$-有理性与单位的 $p$-进对数联系起来。
• 对于伽罗瓦域，该方法利用 $U_K^\Sigma$ 及其与 $\overline{E}_K$ 的交集来分析 ray 类群中的分歧与挠结构。
• 该方法借助类域论和 $p$-进对数映射，将 $p$-有理性测试简化为 $\mathbb{Z}_p$-模中的有限计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用模 $p^2$ 的 ray 类群高效测试由首一不可约多项式定义的任意数域的 $p$-有理性？
• RQ2 在二次域中，$p$-有理性的密度是多少？它们是否与 Cohen–Lenstra–Martinet 猜测一致？
• RQ3 当 $p=3$ 时，是否存在伽罗瓦群为 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^t$（$t=5$ 和 $t=6$）的 $p$-有理域？这是否符合 Greenberg 的猜想？
• RQ4 是否存在对所有 $p \geq 2$ 都是 $p$-有理的虚二次域？这对最小绝对阿贝尔伽罗瓦群意味着什么？
• RQ5 能否将 $p$-有理性与统一的 pro-$p$ 群中大的 Iwasawa $\mu$-不变量联系起来？这是否符合 Hajir–Maire 的猜想？

主要发现

• 本文提供了两个高度高效的 PARI/GP 程序，可测试由首一不可约多项式定义的任意数域的 $p$-有理性，显著加速了先前的方法。
• 对于二次域，本文验证了 $p$-有理性密度与 Cohen–Lenstra–Martinet 预测一致，支持了 $p$-进类域论中的启发式模型。
• 本文构造了伽罗瓦群为 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^5$ 和 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^6$ 的 $p$-有理域的显式例子（$p=3$），在这些情况下证实了 Greenberg 的猜想。
• 本文证明了对一般 $p=2$，有 $\mathcal{W}_K = \bigoplus_{{\mathfrak{p}}\mid p} \mu_{K_{\mathfrak{p}}} / \mu_K$ 非平凡，突显了小素数处 $p$-有理性的复杂性。
• 归一化的 $p$-进正规子群 $\mathcal{R}_K$ 被证明是 $p$-有理性中最深层的不变量，其模 $p$ 为零的猜想概率不超过 $1/p^{\log_2 p / \log c_0(\eta) - O(1)}$（当 $p$ 较大时）。
• 根据 Borel–Cantelli 原理，这意味着只有有限多个素数 $p$ 会使一个固定的实伽罗瓦域非 $p$-有理，从而支持一个概率性的有限性猜想。