[论文解读] A $(-q)$-analogue of weight multiplicities

G. Lusztig, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文证明了与仿射 Weyl 群中扭曲对合相关的某些多项式 $P^{\rho}_{d_{\rho},d_{\rho}}(q)$ 构成 Langlands 对偶群 $\check{G}$ 的权重重数的 $(-q)$-类比，建立了 Hecke 代数组合学与表示理论之间的深刻联系。关键结果证实了 Lusztig 的一个猜想，即 $P^{\rho}_{d_{\rho},d_{\rho}}(q) = P_{d_{\rho},d_{\rho}}(-q)$，并进一步将这些多项式与 $\check{G}$ 的不可约表示上厄米形式的符号联系起来。

ABSTRACT

We prove a conjecture in \cite{L} stating that certain polynomials $P^σ_{y,w}(q)$ introduced in \cite{LV1} for twisted involutions in an affine Weyl group give $(-q)$-analogues of weight multiplicities of the Langlands dual group $\check{G}$. We also prove that the signature of a naturally defined hermitian form on each irreducible representation of $\check{G}$ can be expressed in terms of these polynomials $P^σ_{y,w}(q)$.

研究动机与目标

• 证明 Lusztig（2011）提出的猜想，即 $P^{\rho}_{d_{\rho},d_{\rho}}(q)$ 是 Langlands 对偶群 $\check{G}$ 的不可约表示中权重重数的 $(-q)$-类比。
• 建立精细的 $P^{\rho}$-多项式与仿射 Schubert 品面的交叠上同调之间的几何与代数联系。
• 证明不可约表示 $\check{G}$ 上自然厄米形式的符号可用 $P^{\rho}_{d_{\rho},d_{\rho}}(q)$ 表示。
• 将结果推广至仿射 Weyl 群上的其他对合 $\diamond$，扩展 $(-q)$-类比构造。

提出的方法

• 利用几何 Satake 对应，将 $P^{\rho}_{d_{\rho},d_{\rho}}(q)$ 解释为 $G[[t]]$-轨道在 $G((t))/\mathbf{P}$ 中的全局交叠上同调的 Poincaré 多项式。
• 通过 $a_w \mapsto q^{\ell(w)} \left(\frac{q-1}{q+1}\right)^{\phi(w)}$ 定义一个修正的 $\mathcal{A}$-线性映射 $\zeta: M \to \mathbb{Q}(q)$，该映射推广了 $Z_w(q)$ 的标准 $\chi$-映射。
• 利用仿射 Weyl 群上对合 $*$ 的作用，定义 $*$-扭曲对合 $I_*$，并将 $P^\sigma$-多项式构造为 Kazhdan-Lusztig 多项式的精细类比。
• 利用 $\widetilde{g} \in \check{T}^{\text{sc}}$ 提升 $(-1)^\rho$ 的作用，计算交叠上同调层上的迹，证明 $\mathcal{H}^{2j}_{\mu}\Psi_\lambda$ 作用为 $(-1)^j$。
• 应用上同调群的权分解和关系 $j = \langle \rho, \nu + \lambda - 2\mu \rangle$，计算对合在每个权空间上的迹。
• 建立恒等式 $P^{\sigma,\diamond}_{d_1,d_2}(q) = \sum_j \text{tr}(\mathcal{H}^{2j}_{\mu}\Psi_\lambda, \mathcal{H}^{2j}_{\mu}\mathbf{C}_\lambda) q^j$，从而导出 $(-q)$-类比结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 $P^\sigma$-多项式 $P^\sigma_{d_\mu,d_\lambda}(q)$ 是否为 Langlands 对偶群 $\check{G}$ 的不可约表示 $V_\lambda$ 中权重重数 $m(\mu, \lambda)$ 的 $(-q)$-类比？
• RQ2 能否用 $P^\sigma$-多项式表达 $V_\lambda$ 上自然厄米形式的符号？
• RQ3 $P^\sigma$-多项式如何与仿射旗流形 $G((t))/\mathbf{P}$ 中 $G[[t]]$-轨道的全局交叠上同调相关联？
• RQ4 该 $(-q)$-类比构造能否推广至仿射 Weyl 群上的其他对合 $\diamond$？

主要发现

• 主要结果证实了 $P^\sigma_{d_\mu,d_\lambda}(q) = P_{d_\mu,d_\lambda}(-q)$，证明 $P^\sigma$-多项式确实是 $V_\lambda$ 中权重重数的 $(-q)$-类比。
• 不可约表示 $V_\lambda$ 上厄米形式的符号由 $P^\sigma_{d_\mu,d_\lambda}(q)$ 的系数的交错和给出，反映了对合在上同调上的作用。
• 通过 $\zeta$-映射定义的 $Z^\sigma_w(q)$-多项式推广了标准的 $Z_w(q)$-多项式，并在 $*$-对合下编码了全局交叠上同调数据。
• 证明了对合 $\mathcal{H}^{2j}_{\mu}\Psi_\lambda$ 在 $\mathcal{H}^{2j}_{\mu}\mathbf{C}_\lambda$ 上的迹为 $(-1)^j$，这是证明 $(-q)$-类比恒等式的关键。
• 该结果可推广至仿射 Weyl 群上的其他对合 $\diamond$，在广义的 $P^{\sigma,\diamond}$-多项式下，相同的 $(-q)$-类比性质依然成立。
• 证明依赖于几何 Satake 对应以及 $\widetilde{g} \in \check{T}^{\text{sc}}$ 提升 $(-1)^\rho$ 的作用，后者在上同调层上诱导出正确的符号行为。