[论文解读] A Re-examination of the isometric embedding approach to General Relativity

Steven Willison|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文通過在更高維的闵可夫斯基空間中表述愛因斯坦方程，重新審視了廣義相對論的等距嵌入方法，採用13+1維框架以解決柯西問題的難題並處理與內在廣義相對論的非等價性問題。利用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理，證明了解析初始數據的局部存在性與唯一性，並提出了一種適用於非緊緻、漸近平坦數據的加權索伯列夫空間中的擾動方法，表明在適當修改下全局存在性是可行的。

ABSTRACT

We consider gravitational field equations which are Einstein equations written in terms of embedding coordinates in some higher dimensional Minkowski space. Our main focus is to address some tricky issues relating to the Cauchy problem and possible non-equivalence with the intrinsic Einstein theory. The well known theory introduced by Regge and Teitelboim in 9+1 dimensions is cast in Cauchy-Kowalevskaya form and therefore local existence and uniqueness results follow for \emph{analytic} initial data. In seeking a weakening of the regularity conditions for initial data, we are led naturally to propose a 13+1 dimensional theory. By imposing an appropriate conserved initial value constraint we are able, in the neighbourhood of a generic (free) embedding, to obtain a system of nonlinear hyperbolic differential equations. The questions of long time or global existence and uniqueness are formidable, but we offer arguments to suggest that the situation is not hopeless if the theory is modified in an appropriate way. We also present a modification of the perturbation method of Günther to weighted Sobolev spaces, appropriate to noncompact initial data surfaces with asymptotic fall-off conditions.

研究动机与目标

• 解決廣義相對論等距嵌入表述中的基礎性問題，特別是柯西問題以及與標準愛因斯坦引力理論可能存在的非等價性。
• 在9+1維框架下，利用柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理，證明解析初始數據的局部存在性與唯一性。
• 通過提出13+1維理論，弱化初始數據的正則性假設，從而能夠處理非緊緻、漸近平坦的時空。
• 開發一種適用於具有衰減條件的非緊緻初始數據曲面的加權索伯列夫空間中的改進擾動方法。
• 主張若理論經過適當修改，長時間或全局存在性並非無望，儘管面臨巨大挑戰。

提出的方法

• 在更高維的闵可夫斯基空間 $\mathbb{E}^{N-1,1}$ 中以嵌入坐標 $X^A(\tau)$ 表述愛因斯坦方程，確保誘導度規與物理時空度規 $g_{\mu\nu}$ 相匹配。
• 將柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理應用於9+1維的雷蓋-泰特爾鮑姆表述，保證在解析初始數據下局部存在性與唯一性。
• 提出13+1維理論以放寬正則性條件，從而能夠處理具有漸近衰減的非緊緻初始數據。
• 施加一個守恆的初始值約束，以推導出在一般（自由）嵌入鄰域內的非線性雙曲偏微分方程組。
• 將 Günther 的擾動方法改進至加權索伯列夫空間 $H_{s,\delta}$，以處理非緊緻數據，確保在空間無窮遠處的衰減性。
• 在加權索伯列夫空間中使用壓縮映射論證，證明在小擾動下解的存在性，依賴於拉普拉斯算子的連續乘法性與可逆性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 廣義相對論的等距嵌入方法能否被一致地表述為柯西問題，並具有良好的局部解？
• RQ2 在放寬初始數據正則性假設的情況下，為避免系統過度約束，所需的最小嵌入維數是多少？
• RQ3 如何將擾動方法適應於具有漸近衰減條件的非緊緻初始數據曲面？
• RQ4 從嵌入方法導出的雙曲方程組在何種條件下能實現全局存在性與唯一性？
• RQ5 嵌入表述與內在表述之間的非等價性是否為根本障礙，還是能通過理論的適當修改予以解決？

主要发现

• 在9+1維雷蓋-泰特爾鮑姆框架下，利用柯西-柯瓦列夫斯卡婙定理，證明了廣義相對論等距嵌入表述在解析初始數據下的局部存在性與唯一性。
• 提出13+1維理論，以允許處理具有漸近衰減的非緊緻初始數據，從而使正則性條件的放寬超越解析性。
• 從嵌入方法導出的方程組在一般（自由）嵌入鄰域內形成一組非線性雙曲偏微分方程，確保在適當約束下具有局部良好 posed 性。
• 開發了一種適用於加權索伯列夫空間 $H_{s,\delta}$ 的改進擾動方法，使能夠分析在空間無窮遠處具有衰減性的非緊緻初始數據。
• 在加權索伯列夫空間中使用壓縮映射論證，確認在小擾動下解的存在性，前提是范數 $\|M^{-1}H\|_{p,\alpha}(|K| + \|L\|_{q,\beta})$ 足夠小。
• 結果表明，若理論經過適當修改，長時間或全局存在性並非無望，為引力的可行嵌入表述提供了可能路徑。