[论文解读] A Simplified Expression for Quantum Fidelity

Adrian Müller|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2023

Quantum Information and CryptographyComputer Science被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于两个混合量子态之间量子保真度的简化且对称的表达式：$ F(\rho,\sigma) = \left(\sum_i \sqrt{\lambda_i(\rho\sigma)}\right)^2 $，该表达式通过一种优美的谱映射论证方法证明，避免了矩阵几何平均或伪逆矩阵的使用。该重表述使得仅需对 $ \rho\sigma $ 进行一次特征分解即可实现计算效率更高的方法，在实践中优于以往的方法，避免了完整的矩阵分解。

ABSTRACT

Quantum fidelity is one of the most important measures of similarity between mixed quantum states. However, the usual formulation is cumbersome and hard to understand when encountering the first time. This work shows in a novel, elegant proof that the expression can be rewritten into a form, which is not only more concise but also makes its symmetry property more obvious. Further, the simpler expression gives rise to a formulation that is subsequently shown to be more computationally efficient than the best previous methods by avoiding any full decomposition. Future work might look for ways in which other theorems could be affected or utilize the reformulation where fidelity is the computational bottleneck.

研究动机与目标

• 为混合量子态之间的量子保真度提供一种更具直观性和对称性的公式化表达。
• 在保真度表达式的推导中，消除对矩阵几何平均或伪逆矩阵的依赖。
• 证明简化形式能够实现更高效的计算算法，避免完整的矩阵分解。
• 通过实证验证新方法相较于现有方法在计算效率上的优势。
• 通过降低复杂度，使未来在保真度成为计算瓶颈的应用中得以更快实现。

提出的方法

• 利用矩阵谱的循环性质和谱映射定理，证明 $ \sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}} $ 的谱等于 $ \sqrt{\rho\sigma} $ 的谱。
• 应用迹-特征值关系，证明 $ \Tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right) = \Tr\left(\sqrt{\rho\sigma}\right) $。
• 推导出简化后的保真度公式 $ F(\rho,\sigma) = \left(\sum_i \sqrt{\lambda_i(\rho\sigma)}\right)^2 $，该公式具有对称性和简洁性。
• 仅通过 $ \rho\sigma $ 的一次通用特征分解来实现并基准测试新方法，避免完整的矩阵分解。
• 与现有方法进行性能比较：2x sqrtm、3x svd、sqrtmh + eigvalsh，以及 sqrtm_svd + svd，使用苹果M1芯片上的随机密度矩阵进行测试。
• 利用 $ \rho\sigma $ 具有非负特征值的特性，进一步优化计算过程。

Figure 1: Comparing the performance of different methods to calculate quantum fidelity. “2x sqrtm” refers to calculating two general eigendecompositions to calculate the matrix square roots of $\rho$ and $\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}$ in equation ( 1 ). “3x svd” is another commonly used method based

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将混合态之间量子保真度的标准表达式简化为一种更具对称性和直观性的形式？
• RQ2 是否可能在不依赖矩阵几何平均或伪逆矩阵的前提下推导出简化后的保真度表达式？
• RQ3 简化后的表达式是否能带来一种更高效的计算方法，避免完整的矩阵分解？
• RQ4 与现有最先进的方法相比，新方法在速度和可扩展性方面表现如何？
• RQ5 新公式是否能在保真度成为计算瓶颈的应用中实现更快的计算速度？

主要发现

• 通过谱映射和谱的循环性质，证明了简化后的保真度表达式 $ F(\rho,\sigma) = \left(\sum_i \sqrt{\lambda_i(\rho\sigma)}\right)^2 $ 与标准形式等价。
• 新公式使 $ \rho $ 与 $ \sigma $ 之间保真度的对称性立即显现，提升了可解释性。
• 该方法仅需对 $ \rho\sigma $ 进行一次特征分解，避免了完整的矩阵分解，从而降低了计算开销。
• 实证评估表明，对于小尺寸和大尺寸的密度矩阵，新方法的速度约为最佳替代方法的2倍。
• 性能提升在不同系统尺寸下保持一致，即使在中等维度下，该方法仍具有竞争力。
• 该方法与现有优化技术兼容，例如利用 $ \rho\sigma $ 的非负特征值特性，且未来可受益于特征值计算技术的进一步发展。