[论文解读] A story of diameter, radius and Helly property

Feodor F. Dragan, Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 42被引用 6

一句话总结

本文提出了计算 Helly 图及其相关类的直径和半径的高效算法，利用 Helly 性质和偏心率的单峰性，实现 $\tilde{O}(m\tilde{n})$ 的时间复杂度。它为 $C_4$-free Helly 图设计了线性时间算法，并建立了从弦图到分裂图的约简，使得在有界 VC-维数的弦图上实现真正意义上的亚二次时间直径计算成为可能，解决了关于误差至多为一的加法近似的一个开放问题。

ABSTRACT

A graph is Helly if every family of pairwise intersecting balls has a nonempty common intersection. Motivated by previous work on dually chordal graphs and graphs of bounded distance VC-dimension we prove several new results on the complexity of computing the diameter and the radius on Helly graphs and related graph classes. * First, we present algorithms which given an $n$-vertex $m$-edge Helly graph $G$ as input, compute w.h.p. its radius and its diameter in time $ ilde{\cal O}(m\sqrt{n})$. Our algorithms are based on the Helly property and on several implications of the unimodality of the eccentricity function in Helly graphs: every vertex of locally minimum eccentricity is a central vertex. * Then, we focus on $C_4$-free Helly graphs, which include, amongst other subclasses, bridged Helly graphs and so, chordal Helly graphs and hereditary Helly graphs. For the $C_4$-free Helly graphs, we present linear-time algorithms for computing the eccentricity of all vertices. Doing so, we generalize previous results on strongly chordal graphs to a much larger subclass. * Finally, we derive from our findings on chordal Helly graphs a more general one-to-many reduction from diameter computation on chordal graphs to either diameter computation on split graphs or the {\sc Disjoint Set} problem. Therefore, split graphs are in some sense the {\em only} hard instances for diameter computation on chordal graphs. As a byproduct of our reduction the eccentricity of all vertices in a chordal graph can be approximated in ${\cal O}(m\log{n})$ time with an additive one-sided error of at most one, and on any subclass of chordal graphs with constant VC-dimension the diameter can be computed in truly subquadratic time. These above results are a new step toward better understanding the role of abstract geometric properties in the fast computation of metric graph invariants.

研究动机与目标

• 刻画可在真正亚二次时间内计算直径与半径的图类，以克服 SETH 和击中集猜想的困难性。
• 将关于对偶弦图和有界 VC-维数图的已知结果推广到更广泛的类，特别是 Helly 图。
• 解决弦图中偏心率加法 $+1$-近似的一个开放问题。
• 建立从弦图直径计算到分裂图或并查集的约简，识别出分裂图为直径计算的核心难实例。
• 证明通过所提出的约简，有界 VC-维数的弦图可实现真正意义上的亚二次时间直径计算。

提出的方法

• 利用 Helly 性质：任意两两相交的球族具有公共交点，从而在偏心率和中心性上提供结构保证。
• 利用 Helly 图中偏心率函数的单峰性：每个局部最小偏心率顶点即为中心点，从而实现高效搜索。
• 应用基于重心的递归分解，利用弦图的团树结构，计算偏心率近似值，其加法误差至多为一。
• 通过递归子图分解和门计算，将弦图上的直径计算约简为分裂图或并查集上的直径计算。
• 利用 Sauer-Shelah-Perles 引理，限制约简过程中生成的分裂图子实例的 VC-维数，确保可在亚二次时间内求解。
• 结合 $O(\log n)$ 层递归的总时间分析，每层处理时间为 $O(w(T))$，总时间复杂度为 $O(m \log n)$，用于近似计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 Helly 图的直径与半径能否在真正亚二次时间内计算？
• RQ2 $C_4$-free Helly 图能否设计出线性时间算法，从而推广强弦图上的已有结果？
• RQ3 是否存在从弦图直径计算到分裂图或并查集的约简，从而识别出后者为唯一难实例？
• RQ4 能否在 $O(m \log n)$ 时间内，以至多一的加法误差近似弦图中所有顶点的偏心率？
• RQ5 所提出的框架能否在有界 VC-维数的弦图上实现真正意义上的亚二次时间直径计算？

主要发现

• 提出了一种 $\tilde{O}(m\sqrt{n})$ 时间复杂度的算法，可高概率地计算任意 $n$ 个顶点 $m$ 条边的 Helly 图的直径与半径，利用 Helly 性质和偏心率的单峰性。
• 设计了一种线性时间算法，用于计算 $C_4$-free Helly 图中所有顶点的偏心率，推广了先前在强弦图上的结果。
• 建立了从弦图直径计算到分裂图或并查集的一对多约简，证明分裂图为弦图直径计算的唯一难实例。
• 可在 $O(m \log n)$ 时间内，以至多一的加法误差近似弦图中所有顶点的偏心率，解决了 Dragan (IPL 2019) 提出的开放问题。
• 对于任意 VC-维数至多为 $d$ 的弦图，其直径可在 $O(mn^{1-\eta_d})$ 时间内计算，其中 $\eta_d > 0$，表明在有界 VC-维数类中可实现真正意义上的亚二次时间复杂度。
• 约简过程中生成的所有分裂图子实例的 VC-维数被限制在 $O(d \log d)$ 以内，确保可通过已知结果实现亚二次时间求解。