[论文解读] A survey on the generalized connectivity of graphs

Xueliang Li, Yaping Mao|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 97被引用 19

一句话总结

本综述全面概述了图的广义连通性和边连通性，引入了 $\kappa_k(G)$ 和 $\lambda_k(G)$ 的概念，作为经典连通性概念的自然推广。它确定了在 $n$ 个顶点的图中支持任意 $k$-顶点子集的 $\ell$ 条边不相交 Steiner 树的最小边数的精确值 $f(n,k,\ell) = (k-1)\ell + n - k$，并证明所有此类极值图均可通过三种特定操作从初始的基于星形的图构造而成。

ABSTRACT

The generalized $k$-connectivity $κ_k(G)$ of a graph $G$ was introduced by Hager before 1985. As its a natural counterpart, we introduced the concept of generalized edge-connectivity $λ_k(G)$, recently. In this paper we summarize the known results on the generalized connectivity and generalized edge-connectivity. After an introductory section, the paper is then divided into nine sections: the generalized (edge-)connectivity of some graph classes, algorithms and computational complexity, sharp bounds of $κ_k(G)$ and $λ_k(G)$, graphs with large generalized (edge-)connectivity, Nordhaus-Gaddum-type results, graph operations, extremal problems, and some results for random graphs and multigraphs. It also contains some conjectures and open problems for further studies.

研究动机与目标

• 系统化并总结广义连通性 $\kappa_k(G)$ 和广义边连通性 $\lambda_k(G)$ 的已知结果，扩展经典连通性概念。
• 通过确定为确保给定 $k$-顶点子集存在 $\ell$ 条边不相交 Steiner 树所需的最小边数，满足实际网络设计的需求。
• 表征实现边数理论下限的 $(k,\ell)$-最小连通图的结构。
• 通过整理该领域中的开放问题和猜想，为后续研究提供基础。

提出的方法

• 将广义 $k$-连通性 $\kappa_k(G)$ 定义为：移除最少数量的顶点后，图中剩余连通分量数至少为 $k$ 或顶点数少于 $k$。
• 类似地，定义广义边连通性 $\lambda_k(G)$，即通过移除边后确保图至少有 $k$ 个连通分量。
• 提出参数 $f(n,k,\ell)$，表示在阶为 $n$ 的连通图中，存在某个 $k$-子集 $S$ 的 $\ell$ 条边不相交 $S$-Steiner 树的最小边数。
• 引入一个 $(k,\ell)$-初始图，通过将星形图 $K_{1,k-1}$ 的每条边替换为 $\ell$ 条平行边，形成 $\ell$ 条边不相交的 $K_{1,k-1}$ 树。
• 定义三种图操作——操作 I（创建环并删除一条边）、操作 II（将一个顶点拆分为两个，仅保留一个邻居）和操作 III（将一个顶点拆分为两个，且两个新顶点均保留邻居）——以生成所有极值图。
• 证明任意 $(k,\ell)$-最小连通图均可通过一系列上述三种操作从初始图构造而成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在阶为 $n$ 的连通图中，为确保任意 $k$-顶点子集存在 $\ell$ 条边不相交 Steiner 树，所需的最小边数是多少？
• RQ2 哪些图结构能实现 $\ell$ 条边不相交 Steiner 树的边数理论下限？
• RQ3 如何从一个基础结构系统地生成所有此类极值图？
• RQ4 广义连通性和边连通性相关的紧界和计算复杂度是什么？
• RQ5 在各种图类中，广义连通性的 Nordhaus-Gaddum 型不等式和极值结果有哪些？

主要发现

• 对于 $3 \leq k \leq n$，最小边数的精确值为 $f(n,k,\ell) = (k-1)\ell + n - k$。
• 所有 $(k,\ell)$-最小连通图均可通过一系列操作 I、II 和 III 从 $(k,\ell)$-初始图构造而成。
• $(k,\ell)$-初始图由一个中心顶点通过 $\ell$ 条平行边连接 $k-1$ 个叶子构成，形成 $\ell$ 条边不相交的星形结构。
• 操作 I 通过添加一条边形成环，再删除另一条边，从而在保持树结构的同时修改一棵树。
• 操作 II 将一个顶点拆分为两个，保持连通性，并允许在维持 $S$-树性质的同时进行结构细化。
• 操作 III 执行类似的顶点拆分，但将两个新顶点连接起来，从而实现更复杂的图变换。