[论文解读] A theoretical investigation of Brockett's ensemble optimal control problems

Jan Bartsch, Alfio Borzı̀+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering参考文献 25被引用 18

一句话总结

本文为由李乌维尓方程控制的布罗克特性系综最优控制问题建立了严格的理论框架，该方程具有无界漂移系数。证明了加权索伯列夫空间中的适定性，确保了最优控制的存在性与唯一性，并推导出涉及 $L^2$、$H^1$ 和 $L^1$ 控制代价的非光滑、约束型控制问题的最优性系统。

ABSTRACT

This paper is devoted to the analysis of problems of optimal control of ensembles governed by the Liouville (or continuity) equation. The formulation and study of these problems have been put forward in recent years by R.W. Brockett, with the motivation that ensemble control may provide a more general and robust control framework. Following Brockett's formulation of ensemble control, a Liouville equation with unbounded drift function, and a class of cost functionals that include tracking of ensembles and different control costs is considered. For the theoretical investigation of the resulting optimal control problems, a well-posedness theory in weighted Sobolev spaces is presented for the Liouville and transport equations. Then, a class of non-smooth optimal control problems governed by the Liouville equation is formulated and existence of optimal controls is proved. Furthermore, optimal controls are characterised as solutions to optimality systems; such a characterisation is the key to get (under suitable assumptions) also uniqueness of optimal controls.

研究动机与目标

• 为在系综控制中出现的具有无界漂移系数的李乌维尓方程发展适定性理论。
• 将存在性与唯一性结果扩展至加权索伯列夫空间，以确保控制到状态映射的连续性与弗雷chet可微性。
• 制定并分析具有多种代价泛函的非光滑最优控制问题，包括 $L^2$、$H^1$ 和 $L^1$ 控制代价。
• 引入框式控制约束，并通过一阶最优性系统表征最优控制。
• 在对漂移和代价泛函施加适当假设的条件下，建立最优控制的存在性与唯一性。

提出的方法

• 制定由控制系数中漂移项 $a(t,x;u,v) = \overline{a} + \overline{b}u(t) + \overline{c}v(t)x$ 控制的李乌维尓方程的系综最优控制问题。
• 应用DiPerna-Lions理论，在 $H^m$ 空间中为在 $x$ 上至多线性增长的漂移项建立适定性。
• 将适定性框架扩展至加权索伯列夫空间 $H^m_k$，以处理无界系数并确保控制到状态映射的正则性。
• 使用涉及光滑化算子和时间正则化的逼近技术，处理时变漂移和密度。
• 通过变分法和伴随方法，对非光滑代价泛函推导一阶最优性系统。
• 将最优控制表征为带有适当初值与边界条件的前向（李乌维尓）与后向（伴随）PDE耦合系统的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有无界漂移系数的李乌维尓方程在加权索伯列夫空间中存在唯一解？
• RQ2 在具有无界系数的系综控制背景下，如何证明控制到状态映射在加权索伯列夫框架中是连续且弗雷chet可微的？
• RQ3 非光滑系综最优控制问题中，最优控制的存在性与唯一性的必要与充分条件是什么？
• RQ4 不同的控制代价泛函——$L^2$、$H^1$ 与 $L^1$——如何影响最优性系统的结构与性质？
• RQ5 在保持最优解存在性与唯一性的前提下，能否将控制的框式约束纳入理论框架？

主要发现

• 在漂移项关于 $x$ 的增长至多为线性、且满足可积性与正则性条件的前提下，李乌维尓方程在加权索伯列夫空间 $H^m_k$ 中的适定性得以确立。
• 证明了控制到状态映射 $G: (u,v) \mapsto \rho$ 在加权索伯列夫框架中是连续且弗雷chet可微的，从而支持变分分析。
• 对于涉及 $L^2$、$H^1$ 和 $L^1$ 控制代价以及框式约束的非光滑最优控制问题，证明了最优控制的存在性。
• 在代价泛函与漂移项满足适当的凸性与正则性假设的条件下，建立了最优控制的唯一性。
• 最优控制被表征为由前向李乌维尓方程与伴随后向方程组成的最优性方程组的解。
• 严格证明了涉及光滑化算子与时间正则化的逼近序列的收敛性，确保了理论框架的稳定性和一致性。