[论文解读] A Unified Framework for Multiscale Modeling using the Mori-Zwanzig Formalism and the Variational Multiscale Method

Eric Parish, Karthik Duraisamy|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文将Mori-Zwanzig（MZ）形式化与变分多尺度（VMS）方法统一，构建了一个系统化、数学上严谨的非线性PDE多尺度建模框架。推导出有限元方法中未解析尺度的非马尔可夫、记忆积分闭合形式，表明有限记忆的MZ模型在线性对流中退化为迎风通量校正，形式上等价于人工粘性与稳定化有限元方法。

ABSTRACT

We describe a paradigm for multiscale modeling that combines the Mori-Zwanzig (MZ) formalism of Statistical Mechanics with the Variational Multiscale (VMS) method. The MZ-VMS approach leverages both VMS scale-separation projectors as well as phase-space projectors to provide a systematic modeling approach that is applicable to non-linear partial differential equations. Spectral as well as continuous and discontinuous finite element methods are considered. The framework leads to a formally closed equation in which the effect of the unresolved scales on the resolved scales is non-local in time and appears as a convolution or memory integral. The resulting non-Markovian system is used as a starting point for model development. We discover that unresolved scales lead to memory effects that are driven by an orthogonal projection of the coarse-scale residual and inter-element jumps. It is further shown that an MZ-based finite memory model is a variant of the well-known adjoint-stabilization method. For hyperbolic equations, this stabilization is shown to have the form of an artificial viscosity term. We further establish connections between the memory kernel and approximate Riemann solvers. It is demonstrated that, in the case of one-dimensional linear advection, the assumption of a finite memory and a linear quadrature leads to a closure term that is formally equivalent to an upwind flux correction.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、数学一致的框架，用于多尺度PDE中未解析尺度的建模。
• 在有限元离散化背景下，弥合变分多尺度（VMS）方法与Mori-Zwanzig（MZ）形式化之间的差距。
• 推导一个形式上闭合的非马尔可夫系统，其中未解析尺度通过时间非局部的记忆积分影响解析尺度。
• 建立基于MZ的记忆核与已知稳定化技术（如伴随稳定化与人工粘性）之间的联系。
• 证明有限记忆的MZ模型在不连续伽辽金框架中可恢复已知的数值通量校正，如迎风通量校正。

提出的方法

• 结合VMS尺度分离投影算子与MZ相空间投影算子，将解分解为解析尺度与未解析尺度。
• 推导出一个广义朗之万方程（GLE），其中记忆积分表示未解析尺度对解析尺度的非局部影响。
• 将该框架应用于连续与不连续伽辽金有限元方法，利用正交投影分离残差与单元间跳跃对记忆的贡献。
• 通过解析尺度残差与单元间跳跃的正交投影，构建MZ形式化中的记忆核。
• 利用数值通量函数与基函数投影，显式推导不连续伽辽金方法的记忆核。
• 证明在假设有限记忆与一维线性对流中线性积分规则下，闭合项等价于迎风通量校正。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mori-Zwanzig形式化能否系统性地与变分多尺度方法结合，以生成PDE的统一多尺度建模框架？
• RQ2 未解析尺度如何以非马尔可夫方式影响解析尺度？能否在有限元方法中通过记忆积分捕捉这一影响？
• RQ3 基于MZ的记忆核与经典稳定化技术（如伴随稳定化与人工粘性）之间存在何种关系？
• RQ4 线性对流的有限记忆MZ模型是否在不连续伽辽金框架中恢复已知的迎风通量校正？
• RQ5 记忆核能否在不连续有限元方法中显式计算，并与数值通量函数相关联？

主要发现

• MZ-VMS框架产生了一个形式上闭合的非马尔可夫系统，其中未解析尺度通过时间非局部的记忆积分影响解析尺度。
• 记忆核由解析尺度残差与单元间跳跃的正交投影驱动，这对精确建模至关重要。
• 基于MZ的有限记忆模型在形式上等价于伴随稳定化方法，建立了统计力学与数值稳定化之间的严谨联系。
• 对于双曲方程，稳定化表现为人工粘性项，与经典数值方法一致。
• 在一维线性对流中，假设有限记忆与线性积分规则可导出一个形式上等价于迎风通量校正的闭合项。
• 推导出的记忆核显式依赖于数值通量函数；对于中心通量，当记忆长度适当缩放时，所得稳定化与迎风校正一致。