[论文解读] A universal formula for the entanglement asymmetry of matrix product states

Luca Capizzi, Vittorio Vitale|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2023

Quantum Information and CryptographyComputer Science被引用 3

一句话总结

该论文在热力学极限下为有限键维数的矩阵乘积态（MPS）建立了纠缠对称性的一个通用公式，表明Rényi纠缠对称性仅取决于对称性自发破缺模式 $G \to H$，而不依赖于微观细节。对于离散群，$Δ S_n \simeq \log(|G|/|H|)$；对于紧致李群，$Δ S_n \simeq \frac{1}{2}(̂{\mathfrak{g}} - ̂{\mathfrak{h}})\log|A|$，并通过XXZ模型的iDMRG模拟在数值上得到验证。

ABSTRACT

Symmetry breaking is a fundamental concept in understanding quantum phases of matter, studied so far mostly through the lens of local order parameters. Recently, a new entanglement-based probe of symmetry breaking has been introduced under the name of extit{entanglement asymmetry}, which has been employed to investigate the mechanism of dynamical symmetry restoration. Here, we provide a universal formula for the entanglement asymmetry of matrix product states with finite bond dimension, valid in the large volume limit. We show that the entanglement asymmetry of any compact -- discrete or continuous -- group depends only on the symmetry breaking pattern, and is not related to any other microscopic features.

研究动机与目标

• 建立有限键维数的矩阵乘积态（MPS）在热力学极限下的纠缠对称性通用公式。
• 证明Rényi纠缠对称性仅取决于对称性破缺模式 $G \to H$，而不依赖于态的微观细节。
• 将此前针对有限群的公式猜想推广至紧致李群，包括连续对称性如 $U(1)$。
• 通过在XXZ自旋链上使用无限DMRG（iDMRG）模拟，验证理论预测。

提出的方法

• 通过群作用定义纠缠对称性，即原始约化密度矩阵 $\rho_A$ 与经群对称化后的版本 $\tilde{\rho}_A$ 之间的Rényi熵差。
• 对紧致李群使用Haar测度，并通过群平均构造 $\tilde{\rho}_A$，确保其为 $G$-不变。
• 利用群特征理论和局部MPS张量的谱性质，推导带电矩 $\text{Tr}(\tilde{\rho}_A^n)$。
• 证明在大体积极限下，对于有限群有 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$，对于紧致李群有 $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$。
• 使用iDMRG进行数值模拟，计算反铁磁性XXZ模型在 $\Delta > 1$ 时的Rényi-2纠缠对称性，确认其渐近值与理论预测一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在矩阵乘积态中，大子系统纠缠对称性是否仅取决于对称性破缺模式 $G \to H$，而与微观细节无关？
• RQ2 有限群的猜想公式 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$ 是否可在热力学极限下严格证明？
• RQ3 对于连续紧致李群，纠缠对称性如何标度？其是否遵循涉及李代数 $\mathfrak{g}$ 和 $\mathfrak{h}$ 维数的通用形式？
• RQ4 预测的纠缠对称性通用标度在真实量子自旋链（如XXZ模型）中是否可数值观测？
• RQ5 在临界系统中或存在边界诱导对称性破缺时，纠缠对称性会发生什么变化？

主要发现

• 对于大子系统，矩阵乘积态的Rényi纠缠对称性由对称性破缺模式 $G \to H$ 唯一决定，且 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$ 对于有限群成立。
• 对于紧致李群，纠缠对称性标度为 $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$，证实了通用标度行为。
• XXZ模型的数值模拟显示 $\Delta S_2$ 收敛至 $\log 2$，与 $|G|=4$、$|H|=2$ 时的预测 $\log(|G|/|H|) = \log 2$ 一致，验证了该公式的物理实现。
• 在临界点 $\Delta = 1$ 附近收敛较慢，归因于关联长度发散和动力学对称性恢复。
• 结果对具有有限键维数的平移不变MPS具有鲁棒性，且与全局淬火动力学及可积场论基态中的先前观测结果一致。