[论文解读] A Weak Galerkin Finite Element Method for the Maxwell Equations

Lin Mu, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2013

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在多面体网格上使用不连续逼近求解时 harmonic Maxwell 方程的弱伽辽金（WG）有限元方法。该方法采用带稳定化的离散弱旋度和梯度算子，实现了在 $H^1$-类和 $L^2$-类范数下的最优收敛率，并通过舒尔补约化方法有效消除内部自由度，从而实现高效求解。

ABSTRACT

This paper introduces a numerical scheme for time harmonic Maxwell's equations by using weak Galerkin (WG) finite element methods. The WG finite element method is based on two operators: discrete weak curl and discrete weak gradient, with appropriately defined stabilizations that enforce a weak continuity of the approximating functions. This WG method is highly flexible by allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary shape of polyhedra and, at the same time, is parameter free. Optimal-order of convergence is established for the weak Galerkin approximations in various discrete norms which are either $H^1$-like or $L^2$ and $L^2$-like. An effective implementation of the WG method is developed through variable reduction by following a Schur-complement approach, yielding a system of linear equations involving unknowns associated with element boundaries only. Numerical results are presented to confirm the theory of convergence.

研究动机与目标

• 开发一种在非均匀介质中求解时 harmonic Maxwell 方程的鲁棒、无参数有限元方法。
• 将弱伽辽金框架扩展至 Maxwell 方程的混合弱形式中的矢量场与标量场。
• 在一般多面体单元上使用不连续多项式逼近，实现最优收敛率。
• 通过舒尔补方法消除内部未知量，仅保留边界自由度，从而降低计算成本。
• 提供收敛性的理论基础并辅以数值验证，包括对超收敛现象的观察。

提出的方法

• 引入离散弱旋度和弱梯度算子，以分布意义逼近微分算子。
• 使用弱函数 $\mathbf{u}_h = \{\mathbf{u}_0, \mathbf{u}_b\}$ 和 $p_h = \{p_0, p_b\}$，其中 $\mathbf{u}_0, p_0$ 为单元内逼近，$\mathbf{u}_b, p_b$ 为面上的迹。
• 通过在单元边界上积分施加稳定项，强制实现旋度和梯度的弱连续性。
• 采用舒尔补方法消除内部未知量（$\mathbf{u}_0, p_0$），将全局系统简化为仅含边界未知量（$\mathbf{u}_b, p_b$）的形式。
• 构建混合有限元格式，其中 $\mathbf{u}_h$ 使用 $[P_k(T)]^3 \times P_{k-1}(T)$，$p_h$ 使用 $P_k(T) \times P_k(e)$，并证明了最优阶收敛性。
• 使用数值积分和平均算子定义离散范数与误差估计量，包括 $|||\cdot|||_{0,h}$ 用于 $L^2$-类收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱伽辽金有限元方法能否扩展至具有非均匀系数的时 harmonic Maxwell 方程？
• RQ2 WG 方法是否在适当的离散范数下对矢量与标量分量均实现最优收敛率？
• RQ3 该方法能否在任意多面体网格上实现无参数且稳定的不连续逼近？
• RQ4 当使用低阶多项式（特别是分片常数标量逼近）时，WG 方法的性能如何？
• RQ5 在离散 $L^2$ 范数中是否观察到超收敛现象？若是，其成因是什么？

主要发现

• 当 $s=t=k$ 且 $\ell=k-1$, $\iota=k$ 时，证明了 $\mathbf{u}_h$ 在 $H^1$-类范数下与 $p_h$ 在 $L^2$-类范数下均达到 $O(h^k)$ 的最优收敛阶。
• 数值结果证实了所有测试范数下的最优收敛率，包括 $|||\mathbf{e}_h|||_1$, $\|\mathbf{e}_0\|_{L^2}$, $|||\epsilon_h|||_0$, 以及 $|||\epsilon_h|||_{0,h}$，收敛阶趋近于 $O(h^k)$。
• 在 $s=t=k$, $\ell=\iota=k-1$ 的情形下，数值实验显示收敛率为 $O(h^k)$，尽管尚未提供理论分析。
• 通过舒尔补方法显著减少了全局耦合的自由度，因为内部未知量（$\mathbf{u}_0, p_0$）被局部消除。
• 在离散 $L^2$ 范数中观察到 $p_h$ 的超收敛现象，其收敛阶为 $O(h^2)$，即使理论预测为 $O(h)$，表明可能存在更高阶行为。
• 即使该情形缺乏理论依据，该方法在使用分片常数标量逼近（$P_0$）时仍保持稳定且收敛，表现出优异性能。