[论文解读] A Weak Galerkin Mixed Finite Element Method for Second-Order Elliptic Problems

Junping Wang, Xiu Ye|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的弱伽辽金混合有限元方法（WG-MFEM），用于在任意多边形/多面体网格上求解二阶椭圆问题，采用不连续分段多项式逼近。该方法使用弱定义的离散散度算子，实现了在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下的最优误差估计，并在网格设计与多项式逼近方面展现出高度灵活性，同时保证了局部质量守恒。

ABSTRACT

A new weak Galerkin (WG) method is introduced and analyzed for the second order elliptic equation formulated as a system of two first order linear equations. This method, called WG-MFEM, is designed by using discontinuous piecewise polynomials on finite element partitions with arbitrary shape of polygons/polyhedra. The WG-MFEM is capable of providing very accurate numerical approximations for both the primary and flux variables. Allowing the use of discontinuous approximating functions on arbitrary shape of polygons/polyhedra makes the method highly flexible in practical computation. Optimal order error estimates in both discrete $H^1$ and $L^2$ norms are established for the corresponding weak Galerkin mixed finite element solutions.

研究动机与目标

• 为二阶椭圆问题开发一种灵活的有限元方法，允许使用任意多边形/多面体网格和不连续逼近。
• 通过引入离散弱散度算子，将弱伽辽金框架扩展至混合有限元格式。
• 在离散 $H^1$ 和 $L^2$ 范数下，为通量和原变量逼近建立最优误差估计。
• 保持局部质量守恒，这对多孔介质流与运移模拟等应用至关重要。
• 通过基于分布导数的弱形式，克服经典混合有限元方法对连续性的限制。

提出的方法

• 将二阶椭圆问题表述为包含通量 $\mathbf{q}$ 和标量变量 $u$ 的一阶系统，其中 $\alpha\mathbf{q} + \nabla u = 0$ 且 $\nabla \cdot \mathbf{q} = f$。
• 在每个单元上局部定义一个离散弱散度算子 $\nabla_w \cdot$，以处理不连续的向量值函数。
• 在一般多边形/多面体剖分上，使用不连续分段多项式构造弱伽辽金混合有限元格式，分别逼近 $\mathbf{q}_h$ 和 $u_h$。
• 推导变分格式：求 $\mathbf{q}_h \in \mathcal{V}_h$，$u_h \in \mathcal{W}_h$，使得对所有测试函数有 $(\alpha \mathbf{q}_h, \mathbf{v}) - (\nabla_w \cdot \mathbf{v}, u_h) = \langle g, \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \rangle_{\partial\Omega}$ 且 $(\nabla_w \cdot \mathbf{q}_h, w) = (f, w)$。
• 利用基于单纯形的形状正则性逆不等式和区域逆估计，控制局部范数并推导误差界。
• 通过在离散能量范数下结合稳定性、一致性和逆不等式分析，建立最优收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种弱伽辽金混合有限元方法，使其在任意多边形/多面体网格上对二阶椭圆问题实现不连续逼近？
• RQ2 何种结构与稳定性特性使离散弱散度算子能够实现局部质量守恒与最优收敛？
• RQ3 在 WG-MFEM 框架下，$H^1$ 与 $L^2$ 范数下的最优误差估计如何依赖于网格形状与多项式次数？
• RQ4 该方法能否在保持高阶精度与网格设计灵活性的同时，维持局部质量守恒？
• RQ5 证明基于弱梯度与弱散度的混合有限元格式最优收敛性，需要哪些理论工具？

主要发现

• WG-MFEM 在通量 $\mathbf{q}$ 和原变量 $u$ 的离散 $H^1$ 与 $L^2$ 范数下均实现了最优收敛速率。
• 在一般有限元剖分假设下（包括任意多边形与多面体单元），建立了最优误差估计。
• 由于采用弱散度与弱伽辽金格式，即使在不连续逼近下，该方法仍能保证局部质量守恒。
• 离散弱散度算子 $\nabla_w \cdot$ 在不连续多项式空间上定义良好且稳定，从而保障了方法的灵活性。
• 证明了一个区域逆不等式：对任意在形状正则单纯形 $K$ 上的 $n$ 次多项式 $v$，有 $\|v\|_K^2 \leq C(\varsigma_*, n) \|v\|_S^2$，其中 $S \subset K$ 为半径与 $h_K$ 成比例的球。
• 对每个单元 $T$ 上的分段多项式 $\varphi$（次数为 $n$），有逆不等式 $\|\nabla \varphi\|_T \leq C(n) h_T^{-1} \|\varphi\|_T$ 成立，这对误差分析至关重要。