[论文解读] Additive versus abelian 2-representations of fiat 2-categories

Volodymyr Mazorchuk, Vanessa Miemietz|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通過引入一個阿貝爾化2-函子，建立了非交換2-範疇的加法與阿貝爾2-表示之間的橋樑，使得以在阿貝爾設定下透過加法閉包構造新的2-表示。主要貢獻在於透過2-理想商的手段，對細胞2-表示進行特徵化，證明了非交換2-範疇在細胞2-表示上的像具有「J-簡約性」——即表示理論中簡約性的2-範疇類比。

ABSTRACT

We study connections between additive and abelian 2-representations of fiat 2-categories, describe combinatorics of 2-categories in terms of multisemigroups and determine the annihilator of a cell 2-representation. We also describe, in detail, examples of fiat 2-categories associated to $\mathfrak{sl}_2$-categorification in the sense of Chuang and Rouquier, and 2-categorical analogues of Schur algebras.

研究动机与目标

• 透過引入系統性的阿貝爾化2-函子，統一非交換2-範疇的加法與阿貝爾2-表示理論。
• 釐清加法2-表示與其阿貝爾化之間的關係，特別是在構造新2-表示的脈絡下。
• 特徵化細胞2-表示的消去子，並確立其在非交換2-範疇結構中的角色。
• 將細胞2-表示理論延伸至加法設定，並透過投射對象證明其與阿貝爾對應物的等價性。
• 提供細胞2-表示的新構造方式，即作為非交換2-範疇關於雙邊細胞對應2-理想之商。

提出的方法

• 使用多半群編碼2-範疇的組合結構，其中1-型態的同構類在水平複合下形成多半群。
• 在多半群上定義格林關係（左、右、雙邊細胞），並證明其對應於2-範疇中的經典細胞結構。
• 構造阿貝爾化2-函子，將加法2-表示映射至阿貝爾2-表示，同時保持category結構。
• 將阿貝爾化過程應用於主加法2-表示，並透過穩定對象集的加法閉包提取加法子表示。
• 證明每一個非交換2-範疇的阿貝爾2-表示都同構於其由投射對象生成的加法2-子表示的阿貝爾化。
• 利用2-理想與商的概念，定義非交換2-範疇在細胞2-表示上的像的J-簡約性，從而建立表示理論中簡約性的2-範疇類比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何透過2-函子式構造，系統性地關聯非交換2-範疇的加法與阿貝爾2-表示？
• RQ2 阿貝爾化2-函子在從加法2-表示生成新2-表示的過程中扮演何種角色？
• RQ3 細胞2-表示的消去子與非交換2-範疇中雙邊細胞的結構有何關係？
• RQ4 在加法設定下的細胞2-表示在多大程度上反映其阿貝爾對應物的性質，特別是在簡約性與2-理想方面？
• RQ5 細胞2-表示能否作為非交換2-範疇關於雙邊細胞對應2-理想的商來重構？

主要发现

• 阿貝爾化2-函子允許透過在阿貝爾化設定下對在2-範疇作用下穩定的對象集取加法閉包，從而構造新的2-表示。
• 每一個非交換2-範疇的阿貝爾2-表示都同構於其由投射對象生成的加法2-子表示的阿貝爾化。
• 非交換2-範疇在細胞2-表示上的像為J-簡約，即任何非平凡的2-理想必然消去該表示。
• 細胞2-表示可作為非交換2-範疇模對應雙邊細胞的2-理想之商來重構，提供了一種替代構造方式。
• 對於與施爾代數相關的2-範疇D_{n,r}，左細胞與右細胞分別由半標準楊表的行與列條目分類。
• D_{n,r}的去 categorification 同構於施爾代數S(n,r)，且不可分解投射函子透過Robinson-Schensted-Knuth對應關係對應於Du的標準基。