[论文解读] Affine Kac-Moody algebras, integrable systems and their deformations

Edward Frenkel|ArXiv.org|May 15, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文探讨了临界水平下的仿射 Kac-Moody 代数、可积系统（如 KdV 层次）及其形变为量子与经典 ${\mathcal{W}}$-代数之间的深层联系。文章引入了 $q$-特征同态和形变的 ${\mathcal{W}}_{q,t}({\mathfrak{g}})$-代数，表明这些结构可通过转移矩阵的二次量化以及 $q$-Miura 变换产生，并在统计力学和几何朗兰兹纲领中具有应用。

ABSTRACT

This is the text of the Hermann Weyl Prize lecture given by the author at the XXIV Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Paris, July 2002 (to appear in the Proceedings of the Colloquium).

研究动机与目标

• 理解临界水平下的仿射 Kac-Moody 代数在编码 KdV 和 mKdV 等可积层次的哈密顿结构中的作用。
• 描述通过转移矩阵的二次量化，将这些结构形变为 $q$-形变的类经典与量子 ${\mathcal{W}}$-代数。
• 建立 $q$-特征同态作为泊松映射（即 $q$-Miura 变换），将量子仿射代数与转移矩阵的交换代数联系起来。
• 将这些代数结构与统计力学中的可积模型以及几何朗兰兹对应联系起来。

提出的方法

• 通过使用固定不变内积 $\kappa$ 的留数配对，将仿射 Kac-Moody 代数 $\widehat{{\mathfrak{g}}}_{\kappa}$ 构造为 ${\mathfrak{g}} \otimes \mathbb{C}((t))$ 的中心扩张。
• 定义 universal enveloping 代数的完备化 $\widetilde{U}_{\kappa}(\widehat{{\mathfrak{g}}})$，使其在光滑表示上作用，且 $K$ 作为恒等算子作用。
• 将 $\mathfrak{g}$-主从（opers）定义为取值于 Borel 子代数的一阶微分算子的规范等价类，推广了 Drinfeld-Sokolov 构造。
• 利用 $q$-特征同态 $\chi_q: \operatorname{Rep} U_q(\widehat{{\mathfrak{g}}}) \to \mathbb{Z}[Y_{i,a}^{\pm 1}]$ 编码量子自旋链中转移矩阵的特征值。
• 通过 $q$-Miura 变换实现 $q$-形变的 ${\mathcal{W}}$-代数作为通过 Heisenberg 生成元的自由场实现。
• 通过涉及 $f(z)$-依赖的结构常数和 $q$-形变 OPE 中的狄拉克函数项，推导出形变的 Virasoro 代数 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{sl}_2)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界水平下的仿射 Kac-Moody 代数如何编码 KdV 和修正 KdV 层次的哈密顿结构？
• RQ2 $q$-特征同态在连接量子仿射代数与转移矩阵的交换代数中起什么作用？
• RQ3 $q$-Miura 变换如何将 $q$-形变的 ${\mathcal{W}}$-代数实现为从转移矩阵的量子代数到交换代数的泊松映射？
• RQ4 双参数形变的 ${\mathcal{W}}$-代数 $\mathcal{W}_{q,t}({\mathfrak{g}})$ 在可积系统与统计力学中的几何与物理意义是什么？
• RQ5 这些结构如何通过主从理论与量子群联系到几何朗兰兹对应？

主要发现

• $q$-特征同态 $\chi_q$ 将 $U_q(\widehat{{\mathfrak{g}}})$ 的表示映射到变量 $Y_{i,a}^{\pm 1}$ 上的多项式环，其像等于筛选算子核的交集。
• $q$-特征同态是泊松映射，实现了将 $q$-Miura 变换，将转移矩阵的量子代数与 $q$-形变的 ${\mathcal{W}}$-代数的交换代数联系起来。
• 形变的 ${\mathcal{W}}$-代数 $\mathcal{W}_{q,t}({\mathfrak{g}})$ 作为 $q$-形变的经典 ${\mathcal{W}}$-代数的二次量化而出现，且当 $t \to 1$ 时恢复经典极限。
• 对于 $\mathfrak{sl}_2$，形变的 Virasoro 代数 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{sl}_2)$ 的生成元 $T_n$ 满足一个涉及 $f(z)$ 的 $q$-形变 OPE，包含结构函数与狄拉克函数项。
• 自由场实现 $T(z) = {\mathbf{:}}\Lambda(z){\mathbf{:}} + {\mathbf{:}}\Lambda(zq^2t^2)^{-1}{\mathbf{:}}$ 提供了形变的 Virasoro 代数的顶点算子构造。
• 形变的 ${\mathcal{W}}$-代数在统计力学的可积模型中作为动力对称代数，推广了共形场论的对称性。