[论文解读] An action for higher spin gauge theory in four dimensions

Nima Doroud, Lee Smolin|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用 15

一句话总结

本文通过将麦考德威尔-曼索里广义相对论形式化扩展至无限维规范对称性，提出了一种四维玻色子高自旋规范场论的立方作用量原理。该作用量源于一个具有无限维规范对称性的拓扑场论，其对称性被自发破缺为洛伦兹代数，并导出巴希尔耶夫的运动方程。关键结果为一个哈密顿形式化，表明所有约束均为第一类，从而确认了该理论的微分同胚不变性与规范结构。

ABSTRACT

An action principle is presented for Vasiliev's Bosonic higher spin gauge theory in four spacetime dimensions. The action is of the form of a broken topological field theory, and arises by an extension of the MacDowell-Mansouri formulation of general relativity. In the latter theory the local degrees of freedom of general relativity arise by breaking the gauge invariance of a topological theory from $sp(4)$ to the Lorentz algebra. In Vasiliev's theory the infinite number of degrees of freedom with higher spins similarly arise by the breaking of a topological theory with an infinite dimensional gauge symmetry extending $sp(4)$ to the Lorentz algebra. The Hamiltonian formulation of Vasilev's theory is then derived from our action, and it is shown that the Hamiltonian is a linear combination of constraints, as expected for a diffeomorphism invariant theory. The constraint algebra is computed and found to be first class.

研究动机与目标

• 构建一个四维巴希尔耶夫玻色子高自旋规范场论的一致作用量原理，该问题此前一直悬而未决。
• 将基于 $sp(4)$ 到洛伦兹代数的广义相对论麦考德威尔-曼索里形式化，推广至无限维高自旋规范对称性。
• 推导巴希尔耶夫理论的哈密顿形式化，并验证其约束代数为第一类，从而确认规范不变性与微分同胚不变性。
• 建立广义相对论作为自发破缺的拓扑场论与高自旋理论作为其无限自旋推广之间的直接类比。

提出的方法

• 作用量被构造为一个具有扩展 $sp(4)$ 的无限维规范代数的拓扑场论，类似于麦考德威尔-曼索里方法。
• 规范代数被实现为高自旋代数 $hs(4)$，其场值在扭随伴表示中，并具有 $Z$-空间微分结构。
• 作用量通过连接场 $A$ 和曲率 $F$ 构造，采用类似陈-西蒙斯的形式，涉及超迹与依赖于 $Z$ 的积分测度。
• 应用时空的 3+1 分解以推导哈密顿量，其中正则共轭动量与连接场的空间分量相对应。
• 通过正则分析推导约束，包括高斯型、微分同胚型与物质约束，均被证明为第一类。
• 显式计算约束代数，泊松括号关系确认其闭合性与第一类结构，从而验证规范不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为四维巴希尔耶夫玻色子高自旋规范场论构造一个类似于广义相对论麦考德威尔-曼索里作用量的立方作用量原理？
• RQ2 高自旋理论的无限维规范对称性如何通过类似引力中 $sp(4) \to \mathfrak{so}(4)$ 破缺的方式，从拓扑场论中涌现？
• RQ3 巴希尔耶夫理论的哈密顿形式化是什么？其约束是否为第一类，正如微分同胚不变性理论所要求的？
• RQ4 约束是否在泊松括号代数下生成正确的规范对称性，包括空间微分同胚？

主要发现

• 所提出的公式 (73) 通过四维中一个立方、规范不变的构造，成功重现了巴希尔耶夫的运动方程 (58, 59)。
• 哈密顿量被证明为第一类约束的线性组合 (83–92)，从而确认了该理论的微分同胚不变性与规范结构。
• 所有约束，包括广义高斯约束 (83)，均为第一类，其泊松括号与所有其他约束的对易子为零。
• 高斯约束生成规范变换：$\{\widetilde{G}[f], \widetilde{W_i}[g^i]\} \approx \widetilde{D_i f}[g^i]$，与局部对称性一致。
• 空间微分同胚对称性通过约束代数实现，满足 $\{\widetilde{G}[\xi^j W_j], \widetilde{W_i}[f^i]\} \approx \widetilde{\mathcal{L}_\xi W_i}[f^i]$ 在约束流形上的关系。
• 完整的约束代数在泊松括号下闭合，从而确认了哈密顿形式化的自洽性与该理论的量子兼容性。