[论文解读] An auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin method

Long Chen, Junping Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文针对二维/三维单纯形网格上的二阶扩散方程，提出了一种弱伽辽金有限元方法的辅助空间多重网格预条件子。通过使用 H¹-一致的分片线性有限元空间作为辅助粗空间，该方法实现了与网格尺寸无关的、均匀有界的条件数，数值结果验证了其在均匀和自适应网格上的鲁棒性能。

ABSTRACT

In this paper, the authors constructed an auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin finite element method for second-order diffusion equations, discretized on simplicial 2D or 3D meshes. The idea of the auxiliary space multigrid preconditioner is to use an auxiliary space as a "coarse" space in the multigrid algorithm, where the discrete problem in the auxiliary space can be easily solved by an existing solver. In this construction, the authors conveniently use the $H^1$ conforming piecewise linear finite element space as an auxiliary space. The main technical difficulty is to build the connection between the weak Galerkin discrete space and the $H^1$ conforming piecewise linear finite element space. The authors successfully constructed such an auxiliary space multigrid preconditioner for the weak Galerkin method, as well as a reduced system of the weak Galerkin method involving only the degrees of freedom on edges/faces. The preconditioned systems are proved to have condition numbers independent of the mesh size. Numerical experiments are conducted to support the theoretical results.

研究动机与目标

• 为二阶扩散方程的弱伽辽金有限元离散化所产生的线性系统开发一种高效预条件子。
• 解决弱伽辽金方法产生的大规模稀疏线性系统在最优可扩展性方面的挑战。
• 构建一种与网格尺寸无关的鲁棒预条件子，确保迭代求解器的快速收敛。
• 提出并严格分析一种仅保留边/面自由度的降阶系统公式，以提高计算效率。
• 将辅助空间多重网格框架扩展至弱伽辽金背景，利用现有在一致有限元空间上的求解器。

提出的方法

• 使用 H¹-一致的分片线性有限元空间作为辅助粗空间，以高效求解粗网格问题。
• 在弱伽辽金离散空间与一致 H¹ 空间之间建立稳定的插值算子，以连接精细与粗略问题。
• 采用 V-循环多重网格框架，其中精细层使用弱伽辽金离散化，粗略层使用相同网格上的一致 P1 单元。
• 采用共轭梯度（PCG）求解器，结合辅助空间预条件子求解所得线性系统。
• 通过消除内部单元自由度，推导出降阶系统，仅保留边/面自由度以提升效率。
• 证明了预条件系统条件数相对于网格尺寸均匀有界，从而确保与网格无关的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为弱伽辽金方法构造一种辅助空间多重网格预条件子，以确保与网格无关的收敛性？
• RQ2 如何在非协调的弱伽辽金空间与一致的 H¹ 有限元空间之间建立连接，以实现有效的预条件化？
• RQ3 仅包含边/面自由度的降阶系统公式是否能保持最优收敛性和效率？
• RQ4 该预条件子在具有间断系数或在自适应加密网格上的问题中表现如何鲁棒？
• RQ5 该预条件子的性能是否与网格尺寸无关，且在不同类型和几何形状的问题中均保持有效？

主要发现

• 预条件系统的条件数相对于网格尺寸均匀有界，确保了 PCG 求解器的与网格无关的收敛性。
• 对于原始弱伽辽金系统，在示例 1–3 中所有网格加密下 PCG 迭代次数保持恒定（例如 13–14 步），表明其鲁棒性。
• 降阶系统公式将系统规模减少了约三分之二，并将求解时间减少约一半，相较于原始系统。
• 在示例 5 中，系数变化剧烈（ε = 10⁻⁴ 至 10⁴）时，降阶系统的迭代次数仍恒定为 13 次，表明对系数跳跃具有鲁棒性。
• 在自适应网格上的数值实验（示例 3）表明，求解器保持相似的迭代次数和性能，表明其在非拟均匀网格上的鲁棒性。
• 该方法在通用性和效率方面优于现有方法，尤其得益于对降阶系统的创新处理。