[论文解读] An Initial Study on P, P 0 , B and B 0 Tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 30被引用 1

一句话总结

本文将 P、P₀、B 和 B₀ 矩阵的概念推广至高阶张量，证明了对称张量是 P（P₀）张量当且仅当它是正定（半正定）的。本文建立了诸如主子张量不变性等基本性质，并为识别 B 和 B₀ 张量提供了可检验的条件，将其与 Z 张量的对角占优性联系起来，同时将其与优化和互补问题联系起来。

ABSTRACT

P and P0 matrices have a long history and wide applications. A symmetric matrix is a P (P0) matrix if and only if it is positive (semi-)definite. In this paper, we extend the concept of P and P0 matrices to P and P0 tensors. We show that a symmetric tensor is a P (P0) tensor if and only if it is positive (semi-)definite. We show that every principal sub-tensor of a P (P0) tensor is still a P (P0) tensor, and give some sufficient and necessary conditions for a tensor to be a P (P0) tensor. The class of B matrices is a subclass of P matrices. We extend the concept of B matrices to B and B0 tensors. It is easily checkable if a given tensor is a B or B0 tensor or not. We show that a Z tensor is diagonally dominated if and only if its is also a B0 tensor. The potential links of P, P0, B and B0 tensors with optimization, nonlinear equations, nonlinear complementarity problems, variational inequalities and the nonnegative tensor theory

研究动机与目标

• 将 P 和 P₀ 矩阵的成熟概念推广至高阶张量。
• 建立张量为 P 或 P₀ 张量的充要条件，特别是将对称性与正（半）定性联系起来。
• 将 B 矩阵的类推广至 B 和 B₀ 张量，实现张量分类的高效可检验性。
• 探讨 P、P₀、B 和 B₀ 张量与优化、非线性方程及变分不等式等关键领域的联系。
• 研究在 B₀ 张量背景下，Z 张量与对角占优性的关系。

提出的方法

• 通过推广正（半）定性条件，将 P 和 P₀ 矩阵的定义扩展至对称张量。
• 利用张量特征值和正性准则，证明对称张量是 P（P₀）张量当且仅当它是正定（半正定）。
• 证明任意 P（P₀）张量的主子张量仍为 P（P₀）张量，保持其结构特性。
• 将 B 和 B₀ 张量作为 B 矩阵的推广，通过分量不等式定义，实现高效可验证性。
• 建立 Z 张量对角占优当且仅当其为 B₀ 张量的结论，利用对角元上的占优条件。
• 通过结构与代数性质，分析其与优化、非线性互补问题及非负张量理论的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对称张量被归类为 P 或 P₀ 张量，这与正（半）定性有何关系？
• RQ2 P 和 P₀ 矩阵的结构性质能否在高阶张量中保持，特别是关于主子张量的性质？
• RQ3 B 矩阵的概念如何推广至张量？识别 B 和 B₀ 张量的可检验标准是什么？
• RQ4 Z 张量的对角占优性与 B₀ 张量性质之间存在何种关系？
• RQ5 P、P₀、B 和 B₀ 张量如何与优化、非线性互补问题及非负张量理论相关联？

主要发现

• 对称张量是 P 张量当且仅当它是正定张量，是 P₀ 张量当且仅当它是半正定张量。
• 任意 P（P₀）张量的主子张量本身也是 P（P₀）张量，表明该类在子张量限制下保持不变。
• B 和 B₀ 张量类定义良好且可通过分量不等式高效识别。
• Z 张量对角占优当且仅当其为 B₀ 张量，建立了直接的代数等价性。
• 本文建立了 P、P₀、B 和 B₀ 张量与非线性互补问题、变分不等式等关键数学问题之间的基础联系。
• 结果通过结构与代数性质，为张量类与优化及非负张量理论之间的理论框架提供了支持。