[论文解读] An Inverse Problem for Non-linear Fractional Magnetic Schrodinger Equation

Ru-Yu Lai, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文建立了非线性分数阶磁薛定谔方程的正向问题适定性，并证明了从狄利克雷-诺伊曼（DN）映射唯一恢复磁矢势 $ A $ 和非线性电势 $ a(x,z) $ 的结果。通过 DN 映射的高阶线性化方法以及线性化方程的新最大值原理，作者唯一地重构了 $ a $ 的所有阶泰勒系数，从而确定了完整的非线性项以及在规范等价意义下的磁势。

ABSTRACT

In this paper, we study forward problem and inverse problem for the fractional magnetic Schrodinger equation with nonlinear electric potential. We first investigate the maximum principle for the linearized equation and apply it to show that the problem is well-posed under suitable assumptions on the exterior data. Moreover, we explore uniqueness of recovery of both magnetic and electric potentials.

研究动机与目标

• 建立非线性分数阶磁薛定谔方程在外部数据条件下的正向问题适定性。
• 研究从狄利克雷-诺伊曼（DN）映射唯一恢复磁矢势 $ A $ 和非线性电势 $ a(x,z) $ 的反问题。
• 将高阶线性化技术推广至非局部、非线性和磁性分数阶偏微分方程的反问题。
• 证明完整的非线性项 $ a(x,z) $，包括所有泰勒系数，均可由 DN 数据唯一恢复。
• 证明磁势 $ A $ 可由 DN 数据唯一恢复，恢复结果在规范等价意义下成立。

提出的方法

• 对线性化分数阶磁薛定谔方程应用最大值原理，以在外部数据满足适当假设时确保适定性。
• 利用 DN 映射的高阶线性化方法提取关于非线性势 $ a(x,z) $ 的泰勒系数的信息。
• 通过涉及矢势 $ A $ 的非局部积分定义，定义分数阶磁薛定谔算子 $ (-\Delta)_A^s $，该定义与长跳随机游走一致。
• 采用迭代归纳法证明：若 DN 映射在阶数 $ k+1 $ 以内一致，则对应解及其非线性项在该阶数内也一致。
• 利用 Runge 逼近性质，通过具有紧台外支撑的外部数据逼近任意 $ L^2 $ 函数，从而在重构过程中实现稠密性论证。
• 利用强最大值原理确保一阶解 $ u^{(1)} $ 在 $ \Omega $ 内严格为正，从而实现对非线性系数的逐点识别。

实验结果

研究问题

• RQ1 在适当的外部数据条件下，能否证明非线性分数阶磁薛定谔方程的正向问题适定？
• RQ2 磁矢势 $ A $ 是否可由 DN 映射唯一恢复，且恢复结果在规范等价意义下成立？
• RQ3 能否从 DN 数据唯一重构完整的非线性项 $ a(x,z) $，即其所有泰勒系数？
• RQ4 高阶线性化方法是否可成功推广至非局部、非线性和磁性分数阶 PDE？
• RQ5 最大值原理在确保解的唯一性及线性化过程有效性方面起到何种作用？

主要发现

• 在外部数据和势函数满足适当假设时，非线性分数阶磁薛定谔方程的正向问题适定。
• 磁矢势 $ A $ 可由 DN 映射唯一恢复，且恢复结果在规范等价意义下成立，符合规范不变性预期。
• 通过利用 Runge 逼近性质的稠密性论证，二阶泰勒系数 $ \partial_z^2 a(x,0) $ 可由 DN 映射唯一确定。
• 通过归纳法，所有更高阶泰勒系数 $ \partial_z^k a(x,0) $（$ k \geq 2 $）均可由 DN 数据唯一恢复，前提是低阶项已知。
• 每个阶数 $ k $ 对应的解层级 $ u^{(k)} $ 均由 DN 数据和已知的低阶项唯一确定，从而保证了重构的一致性。
• 完整非线性项 $ a(x,z) $ 可由 DN 映射唯一识别，因为其泰勒级数的所有系数均通过归纳法被逐项恢复。