[论文解读] Inverse problems for the fractional Laplace equation with lower order nonlinear perturbations

Ru-Yu Lai, Laurel Ohm|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 45被引用 5

一句话总结

本论文建立了带有多个非线性低阶扰动的分数阶拉普拉斯方程逆问题的唯一可解性。通过利用Runge逼近性质和分数阶拉普拉斯的强唯一性，证明了在小数据条件下，可通过局部外部测量唯一重构系数 $ b(x) $、方向分量 $ d(x,y) · (x-y) $ 以及完整的非线性势 $ a(x,z) $。

ABSTRACT

We study the inverse problem for the fractional Laplace equation with multiple nonlinear lower order terms. We show that the direct problem is well-posed and the inverse problem is uniquely solvable. More specifically, the unknown nonlinearities can be uniquely determined from exterior measurements under suitable settings.

研究动机与目标

• 解决带有非局部算子的分数阶椭圆方程中多个非线性低阶项的逆问题。
• 在小外部数据条件下，建立直接问题的适定性。
• 证明未知系数 $ b(x) $、$ d(x,y) $ 和 $ a(x,z) $ 可通过局部外部测量唯一确定。
• 将Calderón型逆问题框架扩展至具有非线性、非局部及高阶扰动的方程。
• 为非局部PDE中多个非线性的同时重构提供严格的分析基础。

提出的方法

• 建立包含 $ b(x) $、$ d(x,y) $ 和 $ a(x,z) $ 的非线性项的分数阶椭圆方程，其中 $ a(x,z) $ 在 $ z=0 $ 处解析且阶数为 $ m+1 $ 的零点。
• 通过外部数据 $ f \in C_c^\infty(W_1) $ 定义Dirichlet-to-Neumann (DN) 映射，并测量其在 $ W_2 \subset \Omega_e $ 上的限制。
• 利用Runge逼近性质构造在 $ \Omega $ 中逼近任意 $ L^2 $ 函数的解，从而实现系数差值的逐点恢复。
• 应用分数阶拉普拉斯的强唯一性性质，推导出DN映射差值为零意味着非线性项为零。
• 通过迭代扰动分析和 $ a(x,z) $ 的幂级数展开，递归恢复高阶导数 $ \partial_z^k a(x,0) $。
• 利用最大值原理确保 $ u^{(1)} \neq 0 $，从而允许从第 $ N $ 阶方程中逐点识别 $ \partial_z^N a(x,0) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过DN映射的局部外部测量唯一确定未知的非线性系数 $ b(x) $、$ d(x,y) $ 和 $ a(x,z) $？
• RQ2 分数阶拉普拉斯的非局部性如何影响带有非线性低阶项的逆问题的可解性与唯一性？
• RQ3 系数 $ b $、$ d $ 和 $ a $ 需要满足何种条件，才能保证直接问题的适定性与逆问题的唯一性？
• RQ4 方向分量 $ d(x,y) \cdot (x-y) $ 能在多大程度上被恢复？需要哪些结构假设？
• RQ5 即使非线性势 $ a(x,z) $ 包含高阶项，能否从DN映射数据中重构出其完整形式？

主要发现

• 当外部数据 $ f \in C_c^\infty(W_1) $ 较小时，直接问题在适当的函数空间中是适定的，确保了解的存在性与唯一性。
• 系数 $ b(x) $ 可由DN映射数据唯一确定，在给定测量条件下有 $ b_1(x) = b_2(x) $ 在 $ \Omega $ 中成立。
• 方向分量 $ d(x,y) \cdot (x-y) $ 被唯一恢复，对所有 $ (x,y) \in \Omega \times \Omega $ 有 $ d_1(x,y) \cdot (x-y) = d_2(x,y) \cdot (x-y) $。
• 在 $ \Omega \times \mathbb{R} $ 中，完整的非线性势 $ a(x,z) $ 被唯一确定，即 $ a_1(x,z) = a_2(x,z) $，通过其在零点的泰勒系数递归恢复。
• 证明依赖于Runge逼近性质和分数阶拉普拉斯的强唯一性，使得可从部分外部数据中实现重构。
• 该结果在假设 $ (d_1 - d_2)(x,y) |x-y|^{-n/2-t} \in L^2(\Omega) $ 对每个固定的 $ x \in \Omega $ 成立下成立，确保了恢复过程中的可积性。