[论文解读] Anisotropic diffusion and shear instabilities

S. Talon, J. P. Zahn|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 1996

Fluid Dynamics and Turbulent FlowsEngineering参考文献 3被引用 20

一句话总结

本文研究了各向异性湍流——其特征为强水平扩散系数（$D_h$）和弱垂直扩散系数（$D_v$）——如何削弱稳定分层星体内部分子量梯度的稳定作用。通过将水平湍流扩散纳入经典理查德森准则，作者推导出垂直湍流扩散系数（$D_v$）的修正表达式，表明剪切不稳定性可在远低于标准模型预测的剪切速率下被触发。

ABSTRACT

We examine the role of anisotropic turbulence on the shear instabilities in a stratified flow. Such turbulence is expected to occur in the radiative interiors of stars, due to their differential rotation and their strong stratification, and the turbulent transport associated with it will be much stronger in the horizontal than in the vertical direction. It will thus weaken the restoring force which is caused by the gradient of mean molecular weight ($μ$). We find that the critical shear which is able to overcome the $μ$-gradient is substantially reduced by this anisotropic turbulence, and we derive an estimate for the resulting turbulent diffusivity in the vertical direction.

研究动机与目标

• 理解在具有差速旋转、稳定分层的恒星内部，各向异性湍流如何削弱分子量梯度的稳定作用。
• 修改经典理查德森准则以考虑水平湍流扩散，从而削弱成分分层带来的恢复力。
• 推导在各向异性湍流存在下，由剪切不稳定性引起的有效垂直湍流扩散系数（$D_v$）的定量估计。
• 评估该机制对恒星辐射区中化学元素混合的影响，特别是对快速旋转的O型和B型恒星的影响。

提出的方法

• 通过将水平湍流扩散系数（$D_h$）作为关键参数引入经典理查德森准则，以减少分子量梯度的有效稳定作用。
• 采用类似混合长度的理论形式，对湍流涡旋进行建模，引入无量纲参数 $\Gamma = v\ell / 6K$ 表示热扩散，$\Gamma_\mu = v\ell / 6D_h$ 表示成分扩散。
• 推导出修正的不稳定性判据：$\left(\frac{\Gamma}{\Gamma+1}\right)N^{2}_{T} + \left(\frac{\Gamma_{\mu}}{\Gamma_{\mu}+1}\right)N^{2}_{\mu} \leq Ri_c \left(\frac{dU}{dz}\right)^2$，该式考虑了湍流对成分分层的侵蚀作用。
• 应用临界雷诺数条件（$Re_c \approx 10$）以约束湍流涡旋的尺寸和寿命，确保其不被粘性阻尼。
• 在垂直输运达到最大时求解所得的二阶方程，得到 $D_v \simeq v\ell / 3$ 的表达式。
• 推导出最终的垂直扩散系数公式：$D_v \simeq \frac{2Ri_c (dU/dz)^2}{N^{2}_{T}/(K+D_h) + N^{2}_{\mu}/D_h}$，该式在弱湍流极限（$x \ll K$）下成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有强水平扩散系数（$D_h$）的各向异性湍流如何影响稳定分层恒星内部剪切不稳定的稳定性？
• RQ2 水平湍流扩散在多大程度上削弱了分子量梯度对剪切不稳定的稳定作用？
• RQ3 当水平湍流削弱了成分稳定项时，由此产生的有效垂直湍流扩散系数（$D_v$）是多少？
• RQ4 包含湍流扩散的修正理查德森准则如何改变触发不稳定性所需的临界剪切？
• RQ5 该机制能否解释O型和B型恒星中观测到的丰度异常，特别是与自转和化学混合的关系？

主要发现

• 具有 $D_h \gg D_v$ 的各向异性湍流显著削弱了分子量梯度的稳定作用，降低了剪切不稳定性起始的阈值。
• 由于湍流侵蚀了 $\mu$-梯度，临界理查德森数被有效降低，使得不稳定性可在远低于标准准则预测的剪切速率下发生。
• 推导出的垂直扩散系数表达式为 $D_v \simeq \frac{2Ri_c (dU/dz)^2}{N^{2}_{T}/(K+D_h) + N^{2}_{\mu}/D_h}$，其依赖于热分层和成分分层以及水平扩散系数。
• 仅当剪切速率超过阈值 $\left(\frac{dU}{dz}\right)^2 \geq \frac{\nu Re_c}{6Ri_c}\left[\frac{N^{2}_{T}}{K+D_h} + \frac{N^{2}_{\mu}}{D_h}\right]$ 时，解才存在，该条件远弱于经典条件。
• 该模型预测，在快速旋转的恒星中，此机制可导致部分混合，与O型和B型恒星中观测到的丰度异常一致。
• 该方法通过雷诺数约束（$Re_c \approx 10$）考虑了湍流涡旋的尺寸和寿命，确保与粘性阻尼的物理解释一致。