[论文解读] Anomaly inflow and $p$-form gauge theories

Chang-Tse Hsieh, Yuji Tachikawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 120被引用 16

一句话总结

本文通過異常流入機制，為 $p$-形式規範場理論（包括手徵性和非手徵性）提供了系統性的異常理解框架，其中邊界異常源自高一維的體系拓撲理論的分劃函數。主要貢獻在於利用阿蒂yah-帕特里克-辛格 $\eta$-不變量明確計算這些異常，應用於推導 4d 馬克希韋爾理論中的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 異常，並分析在 orientifold、orbifold 和 S-形式背景下的 D-膜與 M5-膜世界體理論。

ABSTRACT

Chiral and non-chiral $p$-form gauge fields have gravitational anomalies and anomalies of Green-Schwarz type. This means that they are most naturally realized as the boundary modes of bulk topological phases in one higher dimensions. We give a systematic description of the total bulk-boundary system which is analogous to the realization of a chiral fermion on the boundary of a massive fermion. The anomaly of the boundary theory is given by the partition function of the bulk theory, which we explicitly compute in terms of the Atiyah-Patodi-Singer $η$-invariant. We use our formalism to determine the $\mathrm{SL}(2,{\mathbb Z})$ anomaly of the 4d Maxwell theory. We also apply it to study the worldvolume theories of a single D-brane and an M5-brane in the presence of orientifolds, orbifolds, and S-folds in string, M, and F theories. In an appendix we also describe a simple class of non-unitary invertible topological theories whose partition function is not a bordism invariant, illustrating the necessity of the unitarity condition in the cobordism classification of the invertible phases.

研究动机与目标

• 透過異常流入機制，為手徵性與非手徵性 $p$-形式規範場提供統一的異常描述。
• 將邊界異常計算為 $d+1$ 維體系拓撲理論的分劃函數。
• 利用此形式化方法計算 4d 馬克希韋爾理論中的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 全局異常。
• 分析在弦理論、M-理論與 F-理論背景中，orientifold、orbifold 與 S-fold 存在下 D-膜與 M5-膜世界體理論的異常結構。
• 透過構造非幺正反例，證明幺正性在可逆拓撲相的 bordism 分類中的必要性。

提出的方法

• 基於微分上同調與扭曲係數的形式化，描述 $p$-形式規範場及其異常。
• 利用阿蒂yah-帕特里克-辛格 $\eta$-不變量計算體系理論的分劃函數，該函數編碼邊界異常。
• 應用示性指標定理與等變指標定理，計算在透鏡空間與軌道空間上的 $\eta$-不變量。
• 構造一個在 $d+1$ 維度的類似陳-西蒙斯理論的體系理論，其邊界包含手徵性 $p$-形式場。
• 透過指標定理與 $\mathcal{T}^*_{+}$ 和 $\mathcal{T}^*_{-}$ 緊包之間 $\eta$-不變量的差異，推導異常多項式。
• 利用 APS 指標定理，將異常與特徵類（如歐拉類 $E$ 與 Pontryagin 類 $p, p'$）聯繫起來。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 $d=2p+2$ 維度的手徵性 $p$-形式規範場中，透過體系-邊界異常流入機制系統性地計算異常？
• RQ2 阿蒂yah-帕特里克-辛格 $\eta$-不變量在計算體系理論分劃函數及其與邊界異常關係中的精確角色為何？
• RQ3 4d 馬克希韋爾理論中的 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ duality 異常如何從體系拓撲理論中產生？
• RQ4 orientifold、orbifold 與 S-fold 如何影響 D-膜與 M5-膜世界體理論的異常結構？
• RQ5 為何幺正性對於可逆拓撲相的 bordism 分類至關重要？非幺正例子如何破壞此分類？

主要发现

• 在 $d=2p+2$ 維度的手徵性 $p$-形式場的異常，被計算為一類體系陳-西蒙斯型理論的分劃函數，其中 $\eta$-不變量提供了精確的異常相位。
• 對於 4d 馬克希韋爾理論，$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ duality 異常透過在透鏡空間上的 $\eta$-不變量計算，得出在歐拉特徵為 1 的半球面上具有非平凡相位因子 $-1$。
• 該理論的異常多項式為 $\frac{1}{2}(E + I(p,p'))$，其為閉流形上的整數值特徵類，確保異常抵消。
• 該形式化方法成功計算出在 O3 平面背景下的 D3-膜與在 O2 平面背景下的 D4-膜的異常，方法為在適當軌道空間上使用 $\eta$-不變量。
• 本文構造出非幺正可逆拓撲場理論，其分劃函數非 bordism 不變量，從而證明幺正性在可逆相的 bordism 分類中至關重要。
• 差異 $\eta(\mathcal{D}_{Y,\mathcal{T}^*_{+}}) - \eta(\mathcal{D}_{Y,\mathcal{T}^*_{-}})$ 被證明與狄拉克算子的指標及歐拉特徵類 $E$ 相關，並對 $d+1=3,7,11$ 推導出明確公式。