[论文解读] Asymptotically Optimal Vertex Ranking of Planar Graphs

Prosenjit Bose, Vida Dujmović+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 27被引用 4

一句话总结

该论文为平面图中的ℓ-排名建立了渐近最优界，表明对于任意固定的ℓ ≥ 2，每个n个顶点的平面图均可使用O(log n / log(3) n)种颜色实现ℓ-排名，且当ℓ = 2时该界是紧致的。该方法利用了乘积结构定理和基于树宽的分解，进一步推广至有界亏格、 apex- minor-free 以及k-平面图，均得到匹配的渐近界。

ABSTRACT

A (vertex) $\ell$-ranking is a colouring $φ:V(G) o\mathbb{N}$ of the vertices of a graph $G$ with integer colours so that for any path $u_0,\ldots,u_p$ of length at most $\ell$, $φ(u_0) eqφ(u_p)$ or $φ(u_0)<\max\{φ(u_0),\ldots,φ(u_p)\}$. We show that, for any fixed integer $\ell\ge 2$, every $n$-vertex planar graph has an $\ell$-ranking using $O(\log n/\log\log\log n)$ colours and this is tight even when $\ell=2$; for infinitely many values of $n$, there are $n$-vertex planar graphs, for which any 2-ranking requires $Ω(\log n/\log\log\log n)$ colours. This result also extends to bounded genus graphs. In developing this proof we obtain optimal bounds on the number of colours needed for $\ell$-ranking graphs of treewidth $t$ and graphs of simple treewidth $t$. These upper bounds are constructive and give $O(n)$-time algorithms. Additional results that come from our techniques include new sublogarithmic upper bounds on the number of colours needed for $\ell$-rankings of apex minor-free graphs and $k$-planar graphs.

研究动机与目标

• 为此前研究尚未解决的平面图2-排名已知上下界之间的差距提供填补。
• 为平面图及其推广（包括有界亏格图和apex-minor-free图）建立ℓ-排名的紧致渐近界。
• 为有界树宽及其相关类图中的ℓ-排名开发构造性、线性时间算法。
• 通过David Wood的洞见引入的简单树宽概念，统一并简化ℓ-排名的分析。

提出的方法

• 利用近期的乘积结构定理：每个平面图都是H ⊠ K₃ ⊠ P的子图，其中H的树宽至多为3。
• 应用一个关键引理：χℓ-vr(G₁ ⊠ G₂) ≤ χℓ-vr(G₁) · χ̄ℓ(G₂)，其中χ̄ℓ(G₂)是G₂的距离-ℓ着色数。
• 证明对于简单树宽为t的图，χℓ-vr(G) ∈ O(log n / log(t) n)，且在平面图中t = 3时该界是紧致的。
• 基于树宽t进行归纳，基础情况t = 1（不相交路径）需使用O(log ℓ)种颜色，递归地对子图限制颜色使用。
• 应用改进的界χℓ-vr(H) ∈ O(ℓ^{t−1} log^t ℓ · log n / log(t) n) 推导出平面图、有界亏格图及k-平面图的结果。
• 通过现有乘积结构定理和改进的树宽界，将结果扩展至apex-minor-free图和(g,k)-平面图。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n个顶点的平面图，其2-排名所需的渐近最优颜色数是多少？
• RQ2 平面图ℓ-排名的O(log n)上界能否被改进？若能，改进到何种程度？
• RQ3 在minor-封闭图族中，ℓ-排名数如何随ℓ和树宽变化？
• RQ4 这些界能否扩展到更广泛的图类，如有界亏格图或k-平面图？
• RQ5 是否存在有界树宽图中ℓ-排名的构造性、线性时间算法？

主要发现

• 对于任意固定的ℓ ≥ 2，每个n个顶点的平面图均可使用O(log n / log(3) n)种颜色实现ℓ-排名，且当ℓ = 2时该界是渐近紧致的。
• 对于无穷多个n，存在n个顶点的平面图在任意2-排名中均需Ω(log n / log(3) n)种颜色，确认了上界最优性。
• 该界可推广至简单树宽t的图：χℓ-vr(G) ∈ O(log n / log(t) n)，且在平面图中t = 3时已证明其紧致性。
• 对于树宽t的图，ℓ-排名数为O(ℓ^t log^t ℓ · log n / log(t+1) n)，该结果推广了平面图的情形。
• 上界是构造性的，可导出有界树宽图（包括平面3-树和外平面图）中ℓ-排名的O(n)时间算法。
• 结果可扩展至欧拉亏格≤g的图（O(g log n / log(3) n)），以及apex-minor-free图和(g,k)-平面图，其界为O(b ℓ^{c−1} log^c ℓ · log n / log(c) n)，其中常数b, c依赖于图类。