[论文解读] Automatically generating Fukaya categories and computing quantum cohomology

Sheel Ganatra|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用 17

一句话总结

该论文证明，对于紧致辛流形的Fukaya范畴的任意同调光滑的全子范畴，若其0阶Hochschild上同调的秩足够大（当第一陈类非零时），则该子范畴自动split-generates整个范畴。该结果依赖于开-闭映射的正式性质及其与配对的相容性，推广了早期的镜像对称结果，并将几何生成性问题简化为子范畴上的内在代数条件。

ABSTRACT

Suppose one has found a non-empty sub-category $\mathcal{A}$ of the Fukaya category of a compact Calabi-Yau manifold $X$ which is homologically smooth in the sense of non-commutative geometry, a condition intrinsic to $\mathcal{A}$. Then, we show $\mathcal{A}$ split-generates the Fukaya category and moreoever, that our hypothesis implies (and is therefore equivalent to the assertion that) $\mathcal{A}$ satisfies Abouzaid's geometric generation criterion [Abo]. An immediate consequence of earlier work [G1, GPS1, GPS2] is that the open-closed and closed-open maps, relating quantum cohomology to the Hochschild invariants of the Fukaya category, are also isomorphisms. Our result continues to hold when $c_1(X) eq 0$ (for instance, when $X$ is monotone Fano), under a further hypothesis: the 0th Hochschild cohomology of $\mathcal{A}$ $\mathrm{HH}^0(\mathcal{A})$ should have sufficiently large rank: $\mathrm{rk}\ \mathrm{HH}^0(\mathcal{A}) \geq \mathrm{rk}\ \mathrm{QH}^0(X)$. Our proof depends only on formal properties of Fukaya categories and open-closed maps, the most recent and crucial of which, compatibility of the open-closed map with pairings, was observed independently in ongoing joint work of the author with Perutz and Sheridan [GPS2] and by Abouzaid-Fukaya-Oh-Ohta-Ono [AFO+]; a proof in the simplest settings appears here in an Appendix. Because categories Morita equivalent to categories of coherent sheaves or matrix factorizations are homologically smooth, our result applies to resolve the split-generation question in homological mirror symmetry for compact symplectic manifolds (generalizing a result of Perutz-Sheridan [PS2] proven in the case $c_1(X) = 0$): any embedding of coherent sheaves or matrix factorizations into the split-closed derived Fukaya category is automatically a Morita equivalence when it has large enough $\mathrm{HH}^0$ (which it always does if $c_1(X)=0$).

研究动机与目标

• 建立一个无需假设Calabi-Yau或镜像对称性的通用准则，用于判定紧致辛流形Fukaya范畴的split-生成性。
• 证明当c₁(X) ≠ 0时，全子范畴𝒜 ⊂ 𝒦(X)的同调光滑性可推出Fukaya范畴𝒦(X)的split-生成性。
• 将Abouzaid的几何生成性准则的验证简化为子范畴𝒜上的内在代数条件，避免新的伪全纯曲线计算。
• 通过𝒜的HH⁰(𝒜)的秩条件，将自动生成结果从Calabi-Yau情形推广至单调Fano及一般辛流形。
• 证明当子范畴光滑且HH⁰(𝒜)的秩足够大时，开-闭与闭-开映射为同构。

提出的方法

• 利用Fukaya范畴的正式公理及开-闭映射，依赖开-闭映射与配对的相容性（此前联合工作已建立，亦由AFOOO独立证明）。
• 将Abouzaid的几何生成性准则作为关键工具，证明𝒜的光滑性与非空性可推出该准则的满足。
• 运用Hochschild上同调计算，特别是当c₁(X) ≠ 0时，rk(HH⁰(𝒜)) ≥ rk(QH⁰(X))作为split-生成的充分条件。
• 利用边界条件为伪全纯环面、并带有对角循环上关联条件的伪全纯环面模空间，来定义并分析开-闭映射。
• 依赖Gromov-Floer模空间的紧化及边界分量分析，包括退化为在内点处粘合的两个圆盘的节点黎曼曲面的情形。
• 使用涉及对角与Poincaré对偶循环之间的cobordism的链同伦论证，将开-闭映射与Hochschild同调上的配对联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种代数条件下，全子范畴𝒜 ⊂ 𝒦(X)可split-generate紧致辛流形X的Fukaya范畴？
• RQ2 Abouzaid的几何生成性准则能否被简化为子范畴𝒜上独立于周围几何结构的内在代数条件？
• RQ3 当c₁(X) ≠ 0时，HH⁰(𝒜)的秩与split-生成性有何关系？其最小所需秩为何？
• RQ4 在何种情形下开-闭与闭-开映射成为同构？这与𝒜的光滑性有何关联？
• RQ5 该split-生成结果能否从Calabi-Yau流形推广至单调Fano或一般辛流形？

主要发现

• 当子范畴𝒜 ⊂ 𝒦(X)非空且同调光滑，且满足rk(HH⁰(𝒜)) ≥ rk(QH⁰(X))时，即使c₁(X) ≠ 0，𝒜也自动split-generateFukaya范畴，该结论成立。
• 该结果适用于满足开-闭映射与配对公理的所有Fukaya范畴构造，具有广泛适用性。
• 当𝒜光滑且满足HH⁰(𝒜)的秩条件时，开-闭与闭-开映射为同构，推广了[Perutz:2015aa]中的早期结果。
• 该证明将Abouzaid的几何准则转化为𝒜的内在代数性质，无需引入新的伪全纯曲线计算。
• 该方法适用于与层范畴或矩阵因子化范畴Morita等价的范畴，这些范畴自动光滑，因此在紧致辛流形的同调镜像对称中解决了split-生成性问题。
• 关键技术输入是开-闭映射与配对的相容性，该结果由GPS2与AFOOO独立建立，本文将其作为基础性工具使用。