[论文解读] Automorphic vector bundles with global sections on $G$-${ t Zip}^{\mathcal Z}$-schemes

Wushi Goldring, Jean-Stefan Koskivirta|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了关于连通霍奇型的 $G$-zip 模式上具有全局截面的自守向量丛锥的猜想，并证明了其在类型 $A_1^n$、$C_2$ 和 $ F_p$-分裂 $A_2$ 的情形下成立。研究揭示了全局截面由 $G$-zip 栈及其分类态射的几何结构所控制，且通过反例表明当 zip 数据非连通霍奇型时该猜想不成立。

ABSTRACT

A general conjecture is stated on the cone of automorphic vector bundles admitting nonzero global sections on schemes endowed with a smooth, surjective morphism to a stack of $G$-zips of connected-Hodge-type; such schemes should include all Hodge-type Shimura varieties with hyperspecial level. We prove our conjecture for groups of type $A_1^n$, $C_2$ and $\mathbf F_p$-split groups of type $A_2$ (this includes all Hilbert-Blumenthal varieties and should also apply to Siegel modular threefolds and Picard modular surfaces). An example is given to show that our conjecture can fail for zip data not of connected-Hodge-type.

研究动机与目标

• 理解具有光滑满射态射 $\zeta: X \to \GZip^\Zcal$ 的概形 $X$ 的全局几何在多大程度上由栈 $\GZip^\Zcal$ 及其态射 $\zeta$ 所控制。
• 提出并证明关于连通霍奇型 $G$-zip 模式上具有非零全局截面的自守向量丛锥的一般猜想。
• 在特定群 $A_1^n$、$C_2$ 和 $\mathbf{F}_p$-分裂 $A_2$ 的情形下验证该猜想，包括所有希尔伯特-布卢门萨尔簇。
• 通过反例表明，当 zip 数据非连通霍奇型时，该猜想不成立。
• 澄清在自守线丛与全局截面的语境下，锥 $C_Y$、$C_\mathcal{Y}$ 和 $C_{\operatorname{Sbt}}$ 之间的关系。

提出的方法

• 利用来自典型群系和霍奇理论的 $G$-zip 及其相关栈 $\GZip^\Zcal$ 的理论。
• 通过与权格中特征标 $\lambda$ 关联的构造 $\mathscr{V}(\lambda)$ 应用自守向量丛的框架。
• 使用具有非零全局截面的特征标锥 $C_Y$，并与由 $G$-zip 结构导出的锥 $C_\mathcal{Y}$ 进行比较。
• 通过包含映射 $\iota: \tilde{G} \to G$ 的拉回，分析权格在共特征格对偶中的像。
• 应用 Kempf 的消去定理与正则性判别准则，推导出某些线丛存在全局截面。
• 使用矩阵求逆与线性不等式，描述对偶空间中的锥 $C'_{\mathcal{Y}}$，并证明某些特征标不属于该锥。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有光滑满射态射 $\zeta: X \to \GZip^\Zcal$ 的概形 $X$ 的全局几何在多大程度上由栈 $\GZip^\Zcal$ 和态射 $\zeta$ 所控制？
• RQ2 具有全局截面的特征标锥 $C_Y$ 与由 $G$-zip 结构导出的锥 $C_\mathcal{Y}$ 之间的确切关系为何？
• RQ3 猜想 $C_Y = C_\mathcal{Y}$ 是否对所有连通霍奇型 $G$-zip 模式均成立？
• RQ4 该猜想是否可在非连通霍奇型 zip 数据下被证明不成立？若成立，其机制如何？
• RQ5 在 $G = GSp(6)$ 且 $X = \mathcal{A}_{3,K}$ 的情形下，锥 $C_{\operatorname{Sbt}}$、$C_\mathcal{Y}$ 和 $C_Y$ 如何比较？

主要发现

• 该猜想 $C_Y = C_\mathcal{Y}$ 在类型 $A_1^n$、$C_2$ 和 $\mathbf{F}_p$-分裂 $A_2$ 的群中成立，包括所有希尔伯特-布卢门萨尔簇。
• 当 $G = GSp(6)$ 时，锥 $C_Y$ 严格包含 $C_{\operatorname{Sbt}}$，表明全局截面锥无法由特殊纤维上拉回的截面所捕捉。
• 反例中取 $G = GSp(6)$ 且 $X = \mathcal{A}_{3,K}$，表明当 zip 数据非连通霍奇型时，$C_Y \neq C_\mathcal{Y}$。
• 特征标 $\lambda_n$ 满足 $\iota^*(\lambda_n) = (-(p+1+n), p^2+n, p^2+1+n)$，对任意 $n, m \geq 1$ 均无全局截面，故 $\lambda_n \notin C_\mathcal{Y}$。
• 尽管 $\lambda_n \notin C_\mathcal{Y}$，但线丛 $\mathscr{L}_Y(\lambda_n)$ 在 $n$ 足够大时为正则，因此 $\lambda_n \in C_Y$，从而得出 $C_Y \neq C_\mathcal{Y}$。
• 在 $G = GSp(6}$ 情形下，锥 $C_\mathcal{Y}$ 严格大于 $C_{\operatorname{Sbt}}$，表明其结构比先前假设的更为复杂。