[论文解读] Behaviour of the order of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves

Andrzej Dąbrowski, Lucjan Szymaszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文研究了定义在ℚ上的椭圆曲线的二次扭量中Tate-Shafarevich群阶的分布，提出一个猜想：对于固定的E和k，满足|X(E_d)| = k²的扭量数量渐近增长为c_k(E)X^{3/4}(log X)^{d_k(E)}。文章提供了大量数值证据，包括88个新的秩为零的椭圆曲线示例，其|X(E)| > 63,408²，创下新纪录，其中|X(E)| = 1,029,212²。

ABSTRACT

We present the results of our search for the orders of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves. We formulate a general conjecture, giving for a fixed elliptic curve $E$ over $\Bbb Q$ and positive integer $k$, an asymptotic formula for the number of quadratic twists $E_d$, $d$ positive square-free integers less than $X$, with finite group $E_d(\Bbb Q)$ and $|\Sha(E_d(\Bbb Q))| = k^2$. This paper continues the authors previous investigations concerning orders of Tate-Shafarevich groups in quadratic twists of the curve $X_0(49)$. In section 8 we exhibit $88$ examples of rank zero elliptic curves with $|\Sha(E)| > 63408^2$, which was the largest previously known value for any explicit curve. Our record is an elliptic curve $E$ with $|\Sha(E)| = 1029212^2$.

研究动机与目标

• 研究定义在ℚ上的椭圆曲线的二次扭量中Tate-Shafarevich群阶的分布。
• 将先前对X₀(49)的数值研究扩展至四条新的椭圆曲线，包括两条具有复乘法的曲线和两条不具复乘法的曲线。
• 提出并提供证据支持关于X(E_d)具有指定平方阶的二次扭量频率的一般渐近猜想。
• 在秩为零的椭圆曲线中建立Tate-Shafarevich群大小的新纪录。
• 探讨渐近公式中某些系数的消失现象，特别是针对奇数阶和非4的倍数阶。

提出的方法

• 提出一般渐近猜想：对于满足|X(E_d)| = k²且L(E_d,1) ≠ 0的无平方因子d ≤ X，其数量f_E(k,X) ~ c_k(E)X^{3/4}(log X)^{d_k(E)}。
• 对四条椭圆曲线（两条CM，两条非CM）的二次扭量进行大规模数值搜索，范围达d ≤ 32×10⁹。
• 利用Birch与Swinnerton-Dyer猜想，将L-函数在s=1处的非零性与E(ℚ)的有限性及X(E_d)的平方阶联系起来。
• 应用Cohen-Lenstra启发式方法和中心L-值分布模型，以指导预期的渐近行为。
• 通过φ与φ̂的同源分析方法，证明在特定条件下X(E′_d)[2]非平凡。
• 通过检查大范围内d的k²阶频率，数值验证猜想，并分析特定k值下c_k(E)的消失现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的ℚ上椭圆曲线E，给定正整数k，满足|X(E_d)| = k²的二次扭量E_d的渐近频率是多少？
• RQ2 |X(E_d)| = k²的分布如何在不同类别的椭圆曲线中变化，特别是具有和不具有复乘法的曲线？
• RQ3 渐近公式f_E(k,X) ~ c_k(E)X^{3/4}(log X)^{d_k(E)}是否能在大范围的d内得到数值证据的支持？
• RQ4 对于哪些k值有c_k(E) = 0？这又对X(E_d)可能阶的取值意味着什么？
• RQ5 ℚ上秩为零的椭圆曲线中，Tate-Shafarevich群的最大已知阶是多少？

主要发现

• 作者提供了88个新的秩为零椭圆曲线示例，其|X(E)| > 63,408²，远超此前纪录。
• 目前已知Tate-Shafarevich群的最大阶为|X(E)| = 1,029,212²，由特定椭圆曲线E实现。
• 数值数据强烈支持猜想：c_{2m+1}(E_d²) = c_{2m+1}(E_d⁴) = c_{4m+2}(E_d²) = 0，表明奇数阶和非4的倍数阶的平方阶不会出现在渐近频率中。
• 本文证明，对于特定椭圆曲线E′_d，X(E′_d)的2-主部分非平凡，即在特定条件下X(E′_d)[2] ≠ 0。
• 作者确认，X₀(49)的二次扭量中L-值与X-群阶的统计行为可推广至所研究的四条新曲线。
• 数据表明，满足|X(E_d)| = k²的扭量数量的渐近增长速率由X^{3/4}(log X)^{d_k(E)}决定，且某些k值对应的系数c_k(E)会消失。