[论文解读] Big principal series, p-adic families and L-invariants

Lennart Gehrmann, Giovanni Rosso|arXiv (Cornell University)|May 26, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文建立了一种基于p进族的公式，用于高阶半单群上余调尖点自守表示的自守L-不变量，推广了经典的Colmez–Greenberg–Stevens公式。通过使用Koszul余逼近局部解析标准系列与Hecke特征值的形变理论，证明了自守L-不变量等于Fontaine–Mazur L-不变量，且与符号特征标无关，从而证实了Spieß的猜想，并将Jacquet–Langlands转移下的不变性推广至更高秩情形。

ABSTRACT

In earlier work, the first named author generalized the construction of Darmon-style $\mathcal{L}$-invariants to cuspidal automorphic representations of semisimple groups of higher rank, which are cohomological with respect to the trivial coefficient system and Steinberg at a fixed prime. In this paper, assuming that the Archimedean component of the group has discrete series we show that these automorphic $\mathcal{L}$-invariants can be computed in terms of derivatives of Hecke-eigenvalues in $p$-adic families. Our proof is novel even in the case of modular forms, which was established by Bertolini, Darmon, and Iovita. The main new technical ingredient is the Koszul resolution of locally analytic principal series representations by Kohlhaase and Schraen. As an application of our results we settle a conjecture of Spieß: we show that automorphic $\mathcal{L}$-invariants of Hilbert modular forms of parallel weight $2$ are independent of the sign character used to define them. Moreover, we show that they are invariant under Jacquet-Langlands transfer and, in fact, equal to the Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariant of the associated Galois representation. Under mild assumptions, we also prove the equality of automorphic and Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants for representations of definite unitary groups of arbitrary rank. Finally, we study the case of Bianchi modular forms to show how our methods, given precise results on eigenvarieties, can also work in the absence of discrete series representations.

研究动机与目标

• 将Bertolini–Darmon–Iovita关于模形式L-不变量的公式推广至更高秩自守表示。
• 在p进族中建立自守L-不变量与Hecke特征值导数之间概念性、上同调性的联系。
• 解决Spieß的猜想：对于平行权2的Hilbert模形式，其L-不变量与符号特征标无关。
• 证明自守L-不变量在Jacquet–Langlands转移下保持不变，且对确定性酉群而言等于Fontaine–Mazur L-不变量。
• 在精确的特征值簇假设下，将框架扩展至Bianchi模形式，即使在无离散系列的情形下亦成立。

提出的方法

• 利用Kohlhaase与Schraen对局部解析标准系列的Koszul余逼近，取代余调计算中的一般广义Steinberg表示。
• 应用p进自守形式族的形变理论，将Hecke特征值的导数与L-不变量联系起来。
• 在特征值簇中构造一条通过基点的曲线，以比较不同余调度数下的上同调模。
• 使用Nakayama引理与模理论论证，证明在乘以一个正规化因子后，上同调模的自由性与同构性。
• 在惰性和分裂情形下应用自守的Colmez–Greenberg–Stevens公式，比较p之上不同素数处的L-不变量。
• 利用基域扩张与p进Langlands函子性，将Bianchi形式的L-不变量与模形式的L-不变量联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过p进族中Hecke特征值的导数来计算高阶群上的自守L-不变量？
• RQ2 如Spieß对平行权2的Hilbert模形式所猜想，自守L-不变量是否与无穷远处的符号特征标无关？
• RQ3 自守L-不变量在Jacquet–Langlands转移下是否保持不变？是否等于Fontaine–Mazur L-不变量？
• RQ4 当不存在离散系列表示时，该方法能否扩展至Bianchi模形式？
• RQ5 在无离散系列的情形下，余调度数之间L-不变量的等式关系是否仍然保持？

主要发现

• 平行权2的Hilbert模形式的自守L-不变量与符号特征标无关，证实了Spieß的猜想。
• 对于任意秩的确定性酉群，在温和假设下，自守L-不变量等于相应伽罗瓦表示的Fontaine–Mazur L-不变量。
• 当模形式经基域扩张至虚二次域时，p之上两个素数处的L-不变量相等，且与原始模形式的L-不变量一致。
• 当p在基域中为惰性时，L-不变量空间与Q_p^*的连续特征标的交集等于原始模形式的L-不变量。
• 对于Bianchi模形式，若特征值簇曲线在基点处光滑且切空间为一般型，则该方法可推出余调度数间L-不变量的等式。
• 在高阶情形下建立了自守的Colmez–Greenberg–Stevens公式，将经典公式推广至在p处具有Steinberg分量的余调表示。