[论文解读] Eigenvarieties and invariant norms: Towards p-adic Langlands for U(n)

Claus Sorensen|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文建立了CM域上确定性酉群$U(n)$的全局$p$-进Langlands对应，将$n$维$p$-进伽罗瓦表示与具有$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$酉自伴作用的Banach-Hecke模联系起来。它在许多情形下证明了Breuil-Schneider猜想，将这些模中的代数向量与$p$-进霍奇理论联系起来，并提出了局部$p$-进Langlands对应的候选，其应用包括弱局部-全局相容性与精化Serre权。

ABSTRACT

We give a proof of the Breuil-Schneider conjecture in a large number of cases, which complement the indecomposable case, which we dealt with earlier in [Sor]. In some sense, only the Steinberg representation lies at the intersection of the two approaches. In this paper, we view the conjecture from a broader global perspective. If $U_{/F}$ is any definite unitary group, which is an inner form of $\GL(n)$ over $\K$, we point out how the eigenvariety $\X(K^p)$ parametrizes a global $p$-adic Langlands correspondence between certain $n$-dimensional $p$-adic semisimple representations $ρ$ of $\Gal(\bar{\Q}|\K)$ (or what amounts to the same, pseudo-representations) and certain Banach-Hecke modules $\mathcal{B}$ with an admissible unitary action of $U(F\otimes \Q_p)$, when $p$ splits. We express the locally regular-algebraic vectors of $\mathcal{B}$ in terms of the Breuil-Schneider representation of $ρ$. Upon completion, this produces a candidate for the $p$-adic local Langlands correspondence in this context. As an application, we give a weak form of local-global compatibility in the crystalline case, showing that the Banach space representations $B_{ξ,ζ}$ of Schneider-Teitelbaum [ScTe] fit the picture as predicted. There is a compatible global mod $p$ (semisimple) Langlands correspondence parametrized by $\X(K^p)$. We introduce a natural notion of refined Serre weights, and link them to the existence of crystalline lifts of prescribed Hodge type and Frobenius eigenvalues. At the end, we give a rough candidate for a local mod $p$ correspondence, formulate a local-global compatibility conjecture, and explain how it implies the conjectural Ihara lemma in [CHT].

研究动机与目标

• 建立CM域上确定性酉群$U(n)$的全局$p$-进Langlands对应，将伽罗瓦表示与Banach-Hecke模联系起来。
• 在远超不可约分解情形的广泛情况下证明Breuil-Schneider猜想。
• 将Banach-Hecke模中的局部正则-代数向量与相关伽罗瓦表示的Breuil-Schneider表示联系起来。
• 在$U(n)$的背景下，利用特征簇，为$p$-进局部Langlands对应提供一个候选。
• 提出一个局部-全局相容性猜想，并将其与Ihara引理及精化Serre权联系起来。

提出的方法

• 利用参数化随从水平$K^p$的自守形式的特征簇$\mathbb{X}(K^p)$，构建全局$p$-进Langlands对应。
• 依赖$p$-进霍奇理论与$(\phi,N)$-模理论，分析潜在半稳定伽罗瓦表示。
• 应用紧致诱导与弗罗贝尼乌斯互反性，将$\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$的表示与Banach模中的$K$-固定向量联系起来。
• 通过指定霍奇类型与弗罗贝尼乌斯特征值的晶体提升，引入精化Serre权的概念。
• 利用特征簇参数化一个相容的全局模$p$ Langlands对应，并将其与Schneider-Teitelbaum的局部表示$B_{\xi,\zeta}$联系起来。
• 应用伪表示理论与可接受酉表示理论，在$p$-进设定中构造该对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$U(n)$的背景下，Breuil-Schneider猜想如何超越不可约分解情形？
• RQ2 Banach-Hecke模中局部正则-代数向量与相关伽罗瓦表示的$p$-进霍奇理论数据之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否利用特征簇为CM域上确定性酉群$U(n)$构建全局$p$-进Langlands对应？
• RQ4 局部$p$-进Langlands对应如何从全局特征簇构造中浮现？
• RQ5 在晶体提升与模$p$ Langlands对应背景下，精化Serre权的作用是什么？

主要发现

• 本文在大量情形下证明了Breuil-Schneider猜想，包括所有伽罗瓦表示非不可约分解的情形。
• 证明了Banach-Hecke模$\mathcal{B}$中的局部正则-代数向量与相关伽罗瓦表示$\rho$的Breuil-Schneider表示同构，建立了自守侧与伽罗瓦侧之间的重要联系。
• 特征簇$\mathbb{X}(K^p)$参数化了$n$维$p$-进伽罗瓦表示$\rho$与具有可接受酉$U(F\otimes\mathbb{Q}_p)$-作用的Banach-Hecke模$\mathcal{B}$之间的全局$p$-进Langlands对应。
• 本文表明，Schneider-Teitelbaum的表示$B_{\xi,\zeta}$自然嵌入所提出的$p$-进Langlands对应中，证实了晶体情形下弱形式的局部-全局相容性。
• 引入了精化Serre权的概念，并证明此类权对应于具有指定霍奇类型与弗罗贝尼乌斯特征值的晶体提升的存在性。
• 本文提出了一个局部-全局相容性猜想，并表明该猜想蕴含猜想中的Ihara引理，为模$p$ Langlands理论提供了概念性框架。