[论文解读] Birman-Murakami-Wenzl type algebras for arbitrary Coxeter systems

Zhi Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文为任意二面体考克斯eter系统 $I_{2}(k)$ 构造了 Birman-Murakami-Wenzl (BMW) 型代数 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$，将原始的 BMW 代数推广至非仿射型（非对称型）情形。该工作证明了代数的半单性、可胞性，以及 Artin 群生成元满足的三次消去多项式，并构造了一个 $k$-维 Lawrence-Krammer 型表示，其与 Marin 的广义单值表示在猜想下同构。

ABSTRACT

In this paper we first present a Birman-Murakami-Wenzl type algebra for every Coxeter system of rank 2 (corresponding to dihedral groups). We prove they have semisimple for generic parameters, and having natural cellular structures. And classcify their irreducible representations. Among them there is one serving as a generalization of the Lawrence-Krammer representation with quite neat shape and the "correct" dimension. We conjecture they are isomorphic to the generalized Lawrence-Krammer representaions defined by I.Marin as monodromy of certain KZ connections. We prove these representations are irreducible for generic parameters, and find a quite neat invariant bilinear form on them. Based on above constructions for rank 2, we introduce a Birman-Murakami-Wenzl type algebra for an arbitrary Coxeter system. For every Coxeter system, the introduced algebra is a quotient of group algebra of the Artin group (associated with this Coxeter system), having the corresponding Hecke algebra as a quotient. The simple generators of the Artin group have degree 3 annihiating polynomials in this algebra.

研究动机与目标

• 为非仿射型考克斯eter系统（特别是二面体型 $I_{2}(k)$）构造 Birman-Murakami-Wenzl 代数的推广形式。
• 解决在 BMW 型代数中引入多重边（非仿射型关系）的挑战，此前这一问题阻碍了其从 ADE 型向外推广。
• 定义一个支持 Artin-Tits 群 $A_{I_{2}(k)}$ 的 Lawrence-Krammer 型表示的代数，且该表示具有显式而简洁的矩阵形式。
• 猜想该表示与 Marin 通过平坦联络单值性定义的广义 Lawrence-Krammer 表示同构。
• 提出一种系统化方法，通过利用可胞性与对合等代数约束，无需显式积分平坦联络，即可确定代数的结构常数。

提出的方法

• 基于 Brauer 型代数与形变约束，为二面体型考克斯eter系统 $I_{2}(k)$ 定义新的 BMW 型代数 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$，其生成元与关系由该框架导出。
• 通过代数检验与对称性分析，推测定义关系中的结构常数，尤其关注确保对合与可胞结构的存在性。
• 在 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$ 中构造 Artin-Tits 群 $A_{I_{2}(k)}$ 的 $k$-维表示，该表示具有清晰的矩阵形式与不变双线性型。
• 证明该代数满足关键代数性质：半单性、可胞性，以及自然对合的存在性。
• 证明 Artin 群生成元在代数中满足一个三次消去多项式，且该代数满射到相应的 Hecke 代数。
• 通过分析 $X_0X_1$ 在基上的迭代作用的算子理论，验证关键的辫子型关系，表明中心元 $ riangle$ 在表示空间上作用为数量乘法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意考克斯eter系统（特别是非仿射型的 $I_{2}(k)$，$k \neq 3$）构造 Birman-Murakami-Wenzl 型代数？
• RQ2 此类代数的正确结构常数是什么？以确保其满足半单性、可胞性，并与 Artin 群作用相容？
• RQ3 该代数是否支持 Artin-Tits 群 $A_{I_{2}(k)}$ 的 Lawrence-Krammer 型表示，且具有简洁的矩阵形式？
• RQ4 该表示是否与 Marin 通过平坦联络单值性定义的广义 Lawrence-Krammer 表示同构？
• RQ5 能否通过推导正确的代数结构，而非显式积分，代数地计算 Marin 的平坦联络的单值性？

主要发现

• 代数 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$ 是半单的，并具有可胞结构，满足原始 BMW 代数的关键代数条件。
• 该代数支持 Artin-Tits 群 $A_{I_{2}(k)}$ 的 $k$-维不可约表示，其具有简洁的矩阵形式与不变双线性型。
• 当 $k = 2n+1$ 为奇数时，表示为 $2n+1$-维；当 $k = 2n$ 为偶数时，存在两个 $n$-维不可约表示。
• 代数中 Artin 群生成元满足一个三次消去多项式，这是 BMW 型代数的标志性特征。
• 该代数满射到相应的 Hecke 代数 $H_{I_{2}(k)}(v)$，且是群代数 $bQ[m,l^{ imes}]A_{I_{2}(k)}$ 的商代数。
• 中心元 $ riangle$ 在表示空间上作用为数量乘法 $l_0 v_0^{-1}$，与辫子群关系一致，验证了其一致性。