[论文解读] Boundary Output Feedback Stabilization of Reaction-Diffusion PDEs with Delayed Boundary Measurement

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对一维反应-扩散偏微分方程（PDE）的边界输出反馈控制策略，适用于任意长的边界测量延迟。该方法结合了有限维观测器以估计延迟的系统模态，并采用预测器来补偿延迟，确保在观测器阶数足够大时，对任意给定的延迟，系统在 $H^1$ 范数下实现指数稳定。

ABSTRACT

This paper addresses the boundary output feedback stabilization of general 1-D reaction-diffusion PDEs with delayed boundary measurement. The output takes the form of a either Dirichlet or Neumann trace. The output delay can be arbitrarily large. The control strategy is composed of a finite-dimensional observer that is used to observe a delayed version of the first modes of the PDE and a predictor component which is employed to obtain the control input to be applied at current time. For any given value of the output delay, we assess the stability of the resulting closed-loop system provided the order of the observer is selected large enough. Taking advantage of this result, we discuss the extension of the control strategy to the case of simultaneous input and output delays.

研究动机与目标

• 解决当边界测量存在任意长时间延迟时，对一维反应-扩散PDE进行稳定化的挑战。
• 克服输出延迟在分布参数系统反馈控制中引入的不稳定风险。
• 设计一种控制策略，即使在测量延迟存在的情况下，也能确保在 $H^1$ 范数下的指数稳定性。
• 通过结合现有的输入延迟补偿技术，将该框架扩展至同时处理输入与输出延迟。
• 提供一种可数值验证的基于LMI的控制器与观测器参数设计方法。

提出的方法

• 设计一个有限维观测器，基于延迟的边界测量来估计PDE的前 $N_0$ 个模态。
• 利用预测器组件，从延迟观测器输出重构当前控制输入，以补偿测量延迟。
• 采用谱降维与基于尺度变换的方法，直接处理狄利克雷/诺伊曼边界条件，而无需控制输入的时间导数。
• 通过构造李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，将闭环稳定性问题形式化，推导出确保指数稳定的充分LMI条件。
• 构建状态估计 $\tilde{X}(t) = \mathrm{col}(X(t), \zeta(t - h_o))$，将延迟测量纳入观测器动态中。
• 通过选择足够大的观测器阶数 $N_0$，确保LMI约束的可行性，从而保证对任意给定的输出延迟 $h_o > 0$ 的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过边界输出反馈，对具有任意长输出延迟的一维反应-扩散PDE实现指数稳定？
• RQ2 如何设计一个有限维观测器，从延迟的边界测量中估计系统模态，且无需导数反馈？
• RQ3 何种控制架构能够实现输出延迟的补偿，同时保持在 $H^1$ 范数下的稳定性？
• RQ4 所提出的观测器-预测器框架能否扩展至处理同时存在的输入与输出延迟？
• RQ5 在何种条件下，基于LMI的稳定性约束对任意输出延迟均具有可行性？

主要发现

• 对于任意给定的输出延迟 $h_o > 0$，若观测器阶数 $N_0$ 足够大，则闭环系统在 $H^1$ 范数下的指数稳定性可得到保证。
• 定理6.1中推导出的LMI条件对足够大的 $N$ 值始终可行，确保了稳定控制器的存在性。
• 所提出的控制策略实现了PDE状态与观测器状态在 $H^1$-范数下的指数衰减，衰减速率为 $2\delta > 0$，其中 $\delta$ 与PDE的谱间隙相关。
• 该方法适用于具有一般一维反应-扩散PDE的狄利克雷、诺伊曼或罗宾边界条件及测量的情形。
• 通过结合Lhachemi & Prieur (2021) 提出的输入延迟补偿方法，该框架可扩展至处理同时存在的输入与输出延迟。
• 在PDE系数与初始条件具有适度正则性（属于 $H^2(0,1)$ 且满足相容边界约束）的条件下，稳定性结果依然成立。