[论文解读] Braid relations for involution words in affine Coxeter groups

Eric Marberg|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 9

一句话总结

该论文提出了一种算法，用于识别在具有对合自同构的有限和仿射考赛特群中，能够生成并保持对合字的最小一组辫子关系。它分类了在标准辫子关系中添加最小的“半辫子”关系后，能形成完整生成集的情况，并证明了未扭的 $A_n$ 或 $ ilde{A}_n$ 类型系统以及秩为 2 或 3 的仿射类型系统为完全辫子化。

ABSTRACT

We describe an algorithm to identify a minimal set of "braid relations" which span and preserve all sets of involution words for twisted Coxeter systems of finite or affine type. We classify the cases in which adding the smallest possible set of "half-braid" relations to the ordinary braid relations produces a spanning set: in the untwisted case, this occurs for the Coxeter systems which are finite with rank two or type $A_n$, or affine with rank three or type $ ilde A_n$. These results generalize recent work of Hu and Zhang on the finite classical cases.

研究动机与目标

• 识别在有限或仿射类型的扭考赛特系统中，能够生成并保持所有对合字的最小一组辫子关系。
• 分类在标准辫子关系中添加最小可能的“半辫子”关系后，能否形成对合字的完整生成集的情况。
• 将胡和张在有限经典情况下的先前结果推广到更广泛的仿射和有限考赛特系统类别。
• 建立扭考赛特系统为“完全辫子化”的条件，即对合字集合在联合关系下构成等价类。
• 提供一种算法框架，利用抛物配置和有界嵌入来确定此类关系。

提出的方法

• 引入‘半辫子’关系的概念，作为对称字关系，形式为 $(r_1,\dots,r_k,s,t,s,\dots)\sim(r_1,\dots,r_k,t,s,t,\dots)$，其中交替序列的长度 $m$ 小于 $m(s,t)$。
• 将广义半辫子关系定义为：当两个交替序列均属于 $\hat{\mathcal{R}}_*(z)$（对于某个扭对合 $z$）时所生成的关系。
• 应用基于抛物配置的算法——即考赛特图的特定子图——系统地生成并验证关系。
• 利用较小扭系统向较大系统的有界嵌入，将问题简化为有限多个情况。
• 在理论简化失败的小秩情况下，使用先前工作的实现进行计算验证。
• 利用扭对合理论和考赛特图的结构，分类出广义半辫子关系已足够的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些有限和仿射扭考赛特系统，对合字集合由普通辫子关系与半辫子关系的并集所生成并保持？
• RQ2 在这些系统中，使对合字生成集完备所需的最小半辫子关系集合是什么？
• RQ3 在哪些情况下，向标准辫子关系添加半辫子关系可使系统成为完全辫子化？
• RQ4 如何算法性地确定仿射考赛特群中保持对合字的所有辫子关系？
• RQ5 哪些抛物配置足以覆盖给定扭考赛特系统中的所有相关关系？

主要发现

• 当且仅当普通与半辫子关系的联合集合能生成并保持所有 $\hat{\mathcal{R}}_*(w)$（$w \in \mathcal{I}_*$）时，扭考赛特系统 $(W,S,*)$ 是完全辫子化的。
• 在未扭情况下（$*=\mathrm{id}$），完全辫子化适用于秩为 2 或类型为 $A_n$ 的有限系统，以及秩为 3 或类型为 $ ilde{A}_n$ 的仿射系统。
• 对于 $\tilde{A}_n$ 且 $n>9$ 的情况，系统由类型 ${}^2A_8$、${}^2A_9$、...、${}^2A_{16}$ 和 ${}^2(A_8\times A_8)$ 的抛物配置覆盖，确保算法适用。
• 对于类型 $ ilde{D}_n$ 且 $n>20$ 的情况，系统由包含 ${}^2(A_8\times A_8)$、${}^2(D_7\times D_7)$ 和 ${}^2(D_9\times D_9)$ 的配置覆盖，具体取决于 $n$ 的奇偶性。
• 对于所有足够大的 $n$，结果由定理 4.13 和 5.2 通过有界嵌入得出；较小情况则使用现有实现进行计算验证。
• 该算法成功识别出所有有限和仿射情况下的最小、非冗余关系集合，推广了先前关于 $A_n$ 和 $ ilde{A}_n$ 的结果。