[论文解读] Building the bicategory Span$_2(\mathcal {C})$

Franciscus Rebro|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文从任意具有拉回和终对象的范畴 𝒞 构造一个双范畴 Span₂(𝒞)，其中对象为 𝒞-对象，1-箭头为 𝒞 中的跨度，2-箭头为跨度的跨度的同构类。关键贡献在于证明该结构满足双范畴的公理，推广了早期在cobordism和群胚范畴中的构造，并将其应用于 $n$-流形和带边cobordism，从而得到一个对称单一路径双范畴结构。

ABSTRACT

Given any category $\mathcal{C}$ with pullbacks and a terminal object, we show that the data consisting of the objects of $\mathcal{C}$, the spans of $\mathcal{C}$, and the isomorphism classes of spans of spans of $\mathcal{C}$, forms a bicategory. We denote this bicategory Span$_2(\mathcal{C})$ and show that this construction can be applied to give a bicategory of $n$-manifolds, cobordisms of those manifolds, and cobordisms of cobordisms.

研究动机与目标

• 将跨度双范畴的构造推广至包含跨度的跨度，形成高维结构。
• 证明当 𝒞 具有拉回和终对象时，通过跨度的跨度的同构类定义的 Span₂(𝒞) 构成一个双范畴。
• 将该构造应用于 $n$-流形和cobordism，得到cobordism的cobordism的双范畴。
• 为通过 𝒞 中的乘积结构将 Span₂(𝒞) 扩展为对称单一路径双范畴奠定基础。

提出的方法

• 将 Span₂(𝒞) 中的1-箭头定义为 𝒞 中的跨度，2-箭头为跨度的跨度的同构类。
• 使用拉回来定义2-箭头的复合，通过典范同构确保结合律。
• 利用恒等跨度构造单位2-箭头，并通过拉回性质验证单位律。
• 利用拉回的普遍性质和跨度的跨度的同构，证明结合律与单位律的相干性条件。
• 从范畴 $K^n$ 到带角的 $n$-流形范畴构造一个函子，以建模立方体 $σ$-流形及其带边cobordism。
• 将该构造应用于 $n$-流形，证明在 Span₂(𝒞) 框架下，cobordism的cobordism构成一个良定义的双范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从任意具有拉回和终对象的范畴 𝒞 出发，使用跨度和跨度的跨度作为1-和2-箭头，构造一个双范畴？
• RQ2 通过跨度的跨度的拉回来定义的2-箭头的复合是否满足双范畴的结合律与单位律约束？
• RQ3 该构造能否应用于带角的 $n$-流形范畴，从而得到cobordism的cobordism的双范畴？
• RQ4 所得双范畴 Span₂(𝒞) 是否可进一步丰富，例如获得对称单一路径结构？

主要发现

• 当 𝒞 具有拉回和终对象时，Span₂(𝒞) 是一个良定义的双范畴，2-箭头的复合由跨度的跨度的拉回来给出。
• 跨度的跨度的同构类作为2-箭头，该构造尊重拉回的普遍性质，确保相干性。
• 该双范畴结构在同构下稳定，因为跨度的跨度的同构被识别为相等的2-箭头。
• 该构造可应用于 $n$-流形，得到一个双范畴，其对象为 $(n-2)$-流形，1-箭头为 $(n-1)$-维带边cobordism，2-箭头为 $n$-维cobordism的cobordism。
• 立方体 $σ$-流形自然诱导出函子 $K^n \to σ$-Man，从而系统地构造出带边 $n$-重cobordism。
• 该框架为通过 𝒞 中的乘积结构将 Span₂(𝒞) 扩展为对称单一路径双范畴提供了基础，如未来工作中所概述。