[论文解读] C*-Algebras Associated with Iterated Function Systems

Gilles G. de Castro|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文利用Kajiwara-Watatani的框架，从迭代函数系统（IFS）构造C*-代数，并在IFS满足有限分支条件或开集条件时，建立这些代数到Cuntz代数的自然单射同态。关键结果表明，该同态的像是由自相似集的代数与一个等距算子生成的，且在存在左逆的条件下，Kajiwara-Watatani代数同构于一个Exel半直积。

ABSTRACT

We review Kajiwara and Watatani's construction of a C*-algebra from an iterated function system (IFS). If the IFS satisfies the finite branch condition or the open set condition, we build an injective homomorphism from Kajiwara-Watatani algebras to the Cuntz algebra, which can be thought as the algebra of the lifted system, and we give the description of its image. Finally, if the IFS admits a left inverse we show that the Kajiwara-Watatani algebra is isomorphic to an Exel's crossed product.

研究动机与目标

• 通过Kajiwara-Watatani方法将C*-代数的构造从自相似集扩展至包含动力学的更广情形。
• 利用提升的IFS构造，建立Kajiwara-Watatani代数到Cuntz代数的自然单射同态。
• 将该同态的像表征为由自相似集的代数与一个等距算子生成，其结构类似于半直积。
• 证明当IFS存在左逆时，Kajiwara-Watatani代数同构于一个Exel半直积。

提出的方法

• 将任意IFS提升至$K \times \Omega$上的新系统，使其满足强分离条件，从而可应用Renault-Deaconu群胚C*-代数构造。
• 构造一个连续满射$F: \Omega \to K$，使得$F \circ \sigma_i = \gamma_i \circ F$，在强分离条件下该映射成为同胚。
• 定义C*-对应$(A, E)$的协变表示，其中$A = C(K)$且$E = C(\mathcal{G})$，从而导出映射到Cuntz代数$\mathcal{O}_d$的同态。
• 利用Cuntz-Pimsner协变条件，验证诱导同态$\iota \times \psi: \mathcal{O}_\Gamma \to A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$是良定义且满射的。
• 在半直积上应用圆作用$\beta_z$，通过Cuntz-Pimsner代数的唯一性定理证明该同态的单射性。
• 证明当IFS存在左逆时，Kajiwara-Watatani代数同构于Exel半直积$A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与IFS相关的Kajiwara-Watatani C*-代数可单射嵌入Cuntz代数？
• RQ2 该单射同态的像是如何由自相似集与一个等距算子表征的？
• RQ3 提升的IFS构造如何促进Kajiwara-Watatani代数与Cuntz代数之间的联系？
• RQ4 在何种条件下，Kajiwara-Watatani代数可描述为一个Exel半直积？
• RQ5 转移算子$L$在实现半直积结构中起到何种作用？

主要发现

• 当IFS满足有限分支条件或开集条件时，Kajiwara-Watatani代数可单射嵌入Cuntz代数$\mathcal{O}_d$。
• 该同态的像是由$C(K)$与一个等距算子$S$生成的，其结构类似于自相似集上的半直积。
• 同态$\iota \times \psi: \mathcal{O}_\Gamma \to A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$既是满射也是单射，从而建立了$\mathcal{O}_\Gamma$与半直积之间的同构。
• 当IFS存在左逆时，Kajiwara-Watatani代数同构于Exel半直积$A \rtimes_{\alpha,L} \mathbb{N}$。
• 该证明依赖于半直积上存在一个圆作用$\beta_z$，其满足Cuntz-Pimsner代数唯一性定理的条件。
• 该同态的构造是自然的，源于与IFS相关的C*-对应的协变表示。