[论文解读] C*-algebras of commuting endomorphisms

Valentin Deaconu|ArXiv.org|Jun 30, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过利用希尔伯特双模的乘积系统和库恩茨-平斯纳代数，从紧致空间上两个交换的连续开满射构造C*-代数，推广了类丛C*-代数。当映射为局部同胚时，建立了库恩茨-平斯纳代数与类丛C*-代数之间的同构，扩展了对秩二图、子移位和伯努利移位的构造。

ABSTRACT

Given a compact space X and two commuting continuous open surjective maps sigma_1, sigma_2 : X --> X, we construct certain C*-algebras that reflect the dynamics of the N^2-action. When the maps sigma_1, sigma_2 are local homeomorphisms, these are groupoid algebras, but in general, we will use a Cuntz-Pimsner algebra associated to a product system of Hilbert bimodules in the sense of Fowler. The motivating example for our construction is the dynamical system associated with a rank two graph by Kumjian and Pask. We consider also a two-dimensional subshift of Ledrappier, the case of two covering maps of the circle, and the two-dimensional Bernoulli shift.

研究动机与目标

• 将类丛C*-代数推广至由紧致空间上两个交换的连续开满射定义的动力系统。
• 为非局部同胚自同态，利用N²上的希尔伯特双模乘积系统构造库恩茨-平斯纳代数。
• 通过希尔伯特双模和条件期望，统一并扩展现有半群自同态作用的交叉积方法。
• 在自同态为局部同胚的情况下，建立所构造的库恩茨-平斯纳代数与类丛C*-代数之间的同构。
• 将该框架应用于关键例子：秩二图、莱德拉普耶子移位、圆覆盖映射和二维伯努利移位。

提出的方法

• 为 $ n \in \mathbb{N}^2 $ 定义等价关系 $ R_n = \{(x,y) \in X \times X \mid \sigma^n x = \sigma^n y\} $，并在 $ R = \bigcup_n R_n $ 上赋予归纳极限拓扑。
• 构造群丛 $ \Gamma = \{(x, p-q, y) \in X \times \mathbb{Z}^2 \times X \mid \sigma^p x = \sigma^q y\} $，其运算为 $ (x,k,y) \cdot (y,l,z) = (x,k+l,z) $，逆元为 $ (x,k,y)^{-1} = (y,-k,x) $。
• 通过条件期望 $ \mathcal{P}_i $ 定义转移算子，其中 $ ({\cal P}_i f)(x) = \frac{1}{\nu_i(x)} \sum_{\sigma_i(y)=\sigma_i(x)} f(y) $（当纤维有限时），或通过测度 $ \mu^i_x $ 的积分（当纤维无限时）。
• 构造 $ \mathbb{N}^2 $ 上的希尔伯特双模乘积系统，其中 $ E_{(m,n)} = E_{(1,0)}^{\otimes m} \otimes_A E_{(0,1)}^{\otimes n} $，且 $ E_{(1,0)} = A(\alpha_1, \mathcal{P}_1) $，$ E_{(0,1)} = A(\alpha_2, \mathcal{P}_2) $。
• 应用福勒的乘积系统与库恩茨-平斯纳代数理论，将 $ \mathcal{O}_E $ 定义为由库恩茨-平斯纳协变表示生成的泛C*-代数。
• 证明当 $ \sigma_1, \sigma_2 $ 为局部同胚时，有 $ \mathcal{O}_E \cong C^*(\Gamma) $，且 $ \mathcal{P}_1 \circ \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_2 \circ \mathcal{P}_1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造C*-代数以反映由紧致空间上两个交换的连续开满射生成的 $ \mathbb{N}^2 $-作用的动力学？
• RQ2 在何种条件下，希尔伯特双模乘积系统的库恩茨-平斯纳代数与相关等价关系的群丛C*-代数一致？
• RQ3 转移算子与条件期望在定义希尔伯特双模的内积与模作用中起什么作用？
• RQ4 动力系统的极小性与本质自由性如何影响所构造C*-代数的简单性？
• RQ5 在何种情况下，库恩茨-平斯纳代数同构于托普利茨代数，何时其为纯无穷？

主要发现

• 当 $ \sigma_1 $ 与 $ \sigma_2 $ 为局部同胚时，与希尔伯特双模乘积系统相关的库恩茨-平斯纳代数 $ \mathcal{O}_E $ 同构于群丛C*-代数 $ C^*(\Gamma) $。
• 条件期望 $ \mathcal{P}_i $ 可交换：$ \mathcal{P}_1 \circ \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_2 \circ \mathcal{P}_1 $，确保乘积系统构造的一致性。
• 对于 $ X = \{0,1\}^{\mathbb{N}^2} $ 上的二维伯努利移位，所得到的库恩茨-平斯纳代数 $ \mathcal{O}_E $ 同构于托普利茨代数 $ \mathcal{T}_E $，因为纤维测度不支撑在有限集上。
• 当 $ \sigma_i $ 为自同构时，库恩茨-平斯纳代数 $ \mathcal{O}_E $ 同构于交叉积 $ A \rtimes_{\alpha_1,\alpha_2} \mathbb{Z}^2 $，可通过迭代的皮姆纳构造恢复。
• 当所有 $ R_n $ 为r-离散时，群丛 $ \Gamma $ 是局部紧致的豪斯多夫群丛，并具有哈尔测度，此条件在 $ \sigma_i $ 为局部同胚时成立。
• 若 $ \mathbb{N}^2 $-作用是极小的，则 $ C^*(R) $ 是简单代数；若其为本质自由的，则 $ C^*(\Gamma) $ 也是简单代数，符合雷诺瓦对本质主群丛理想结构的刻画。