[论文解读] Canonical 2-forms on the moduli space of Riemann surfaces

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|Aug 31, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文综述了黎曼曲面模空间上的多种典型2-形式，包括Weil-Petersson凯勒形式、周期映射导出的第一陈类形式，以及由Arakelov-Green函数和Johnson同态导出的形式。研究发现，尽管这些2-形式代表相同的上同调类 $e_1$，但它们之间相差一个恰当形式，从而引出诸如Hain-Reed函数和函数 $a_g$ 等次级不变量，这些不变量编码了超越初级上同调的几何与算术信息。

ABSTRACT

As was shown by Harer the second homology of ${\mathbb M}_g$, the moduli space of compact Riemann surfaces of genus $g$, is of rank 1, provided $g \geq 3$. This means a nontrivial second de Rham cohomology class on ${\mathbb M}_g$ is unique up to constant factor. But several canonical 2-forms on the moduli space have been constructed in various geometric contexts, and differ from each other. In this article we review some of constructions in order to provide materials for future research on "secondary geometry" of the moduli space ${\mathbb M}_g$.

研究动机与目标

• 系统化并比较紧致黎曼曲面模空间 $\mathbb{M}_g$（$g \geq 3$）上的多种典型2-形式。
• 阐明尽管这些2-形式代表相同的第一个Morita-Mumford类 $e_1$，但它们之间相差恰当形式，从而揭示更深层的几何结构。
• 识别并分析由这些2-形式差异所衍生的次级对象，如Hain-Reed函数和函数 $a_g$。
• 为未来关于 $\mathbb{M}_g$ 的‘次级几何’研究（超越初级上同调）提供基础材料。

提出的方法

• 通过黎曼曲面上的双曲度量构造Weil-Petersson凯勒形式 $\omega_{\text{WP}}$，并证明其代表 $e_1$。
• 利用周期映射从Siegel上半空间 $\mathfrak{H}_g$ 拉回一个典型2-形式，从而得到 $e_1$ 的另一代表。
• 应用Arakelov-Green函数 $G(P_0,P_1)$ 在全族 $\mathbb{C}_g$ 上定义一个 $(1,1)$-形式 $e^A$，代表丛 $T_{\mathbb{C}_g/\mathbb{M}_g}$ 的第一陈类。
• 通过扭转的Morita-Mumford类与Johnson同态引入形式 $e^J$，并构造 $e^J_1$ 为 $m(\eta_1^H)^{\otimes 2}$ 与 $e^J$ 的组合。
• 利用一个引理（将 $d$-恰当的 $(1,1)$-形式表示为 $\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}\partial\overline{\partial}f$）推导出Hain-Reed函数 $\beta_g$，从而得到模常数意义下良定义的函数。
• 计算差值 $e^A - e^J = \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)}\partial\overline{\partial}a_g$，其中 $a_g$ 是 $\mathbb{M}_g$ 上的实值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管均代表相同的上同调类 $e_1$，Weil-Petersson形式、周期映射形式及基于Arakelov的形式在 $\mathbb{M}_g$ 上如何相互关联？
• RQ2 这些2-形式之间的差异（特别是其恰当形式分解）编码了何种几何或算术信息？
• RQ3 在 $\mathbb{M}_g$ 上定义的函数 $a_g$ 是否可解释为黎曼曲面的共形不变量？其性质为何？
• RQ4 Hain-Reed函数 $\beta_g$ 和 $a_g$ 等次级对象如何从 $\mathbb{M}_g$ 上微分形式与上同调恒等式之间的相互作用中产生？
• RQ5 纤维积分形式 $e_1^F = \int_{\text{fiber}}(e^J)^2$ 与其他2-形式之间的确切关系为何？尤其在恰当性与上同调方面如何？

主要发现

• Weil-Petersson凯勒形式 $\omega_{\text{WP}}$ 代表第一个Morita-Mumford类 $e_1$，确认其在 $\mathbb{M}_g$ 上作为典型2-形式的角色。
• 周期映射从 $\mathfrak{H}_g$ 拉回一个典型2-形式，同样代表 $e_1$，表明该上同调类具有几何起源。
• Arakelov-Green函数 $G$ 在 $\mathbb{C}_g$ 上导出一个 $(1,1)$-形式 $e^A$，代表陈类 $c_1(T_{\mathbb{C}_g/\mathbb{M}_g})$，且满足 $e^A = e^J + \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)}\partial\overline{\partial}a_g$。
• 函数 $a_g(C) = \int_C \omega_{(1)} \cdot \widehat{\Phi}(\omega_{(1)} \wedge \omega_{(1)}) \cdot \omega_{(1)}$ 是 $\mathbb{M}_g$ 上的正实值函数（$g \geq 2$），且为模空间上的次级不变量。
• Arakelov与Johnson形式之间的差值为 $e^A - e^J = \frac{1}{(2-2g)^2}(e_1^F - e_1^J)$，将纤维积分形式 $e_1^F$ 与次级几何联系起来。
• Hain-Reed函数 $\beta_g$ 由 $\frac{1}{12}e^J_1 - \text{Jac}^*c_1(\nabla)$ 构造而成，是模常数意义下良定义的 $C^\infty$ 函数，源于两2-形式差值的 $d$-恰当性。