[论文解读] Categorification of Lagrangian intersections on complex symplectic manifolds using perverse sheaves of vanishing cycles

Vittoria Bussi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文在复辛流形中的复拉格朗日子流形交点上，利用极化和复解析拓扑下的下降理论，构造了消失上同调的典范 perverse sheaf。证明了存在一个全局、典范的 perverse sheaf，具备 Verdier对偶与单值性结构，解决了长期存在的范畴化问题，并确立了此类交点具有解析 d-临界点簇结构。

ABSTRACT

We study intersections of complex Lagrangian in complex symplectic manifolds, proving two main results. First, we construct global canonical perverse sheaves on complex Lagrangian intersections in complex symplectic manifolds for any pair of {\it oriented} Lagrangian submanifolds in the complex analytic topology. Our method uses classical results in complex symplectic geometry and some results from arXiv:1304.4508. The algebraic version of our result has already been obtained by the author et al. in arXiv:1211.3259 using different methods, where we used, in particular, the recent new theory of algebraic d-critical loci introduced by Joyce in arXiv:1304.4508. This resolves a long-standing question in the categorification of Lagrangian intersection numbers and it may have important consequences in symplectic geometry and topological field theory. Our second main result proves that (oriented) complex Lagrangian intersections in complex symplectic manifolds for any pair of Lagrangian submanifolds in the complex analytic topology carry the structure of (oriented) analytic d-critical loci in the sense of arXiv:1304.4508.

研究动机与目标

• 为复辛几何中拉格朗日子流形交点数的范畴化问题提供解决。
• 在复解析拓扑下，于复拉格朗日子流形交点上构造一个全局、典范的 perverse sheaf。
• 证明定向复拉格朗日子流形交点具有解析 d-临界点簇结构。
• 为现有 d-临界点簇与 perverse sheaf 的代数结果提供一个独立、自完备的解析对应。
• 为通过矩阵因子化与三角范畴实现交点数的第二次范畴化奠定基础。

提出的方法

• 使用局部 Darboux 坐标与极化，将拉格朗日子流形交点建模为全纯函数的临界点簇。
• 利用复解析几何中消失上同调的理论，在每个局部图上构造消失上同调的 perverse sheaf。
• 通过极化变化下消失上同调的稳定性，建立重叠图上 perverse sheaf 之间的典范同构。
• 应用 perverse sheaf 的下降理论，将局部 perverse sheaf 胶合为交点上的全局、典范对象。
• 通过与 Joyce 的解析 d-临界点簇框架的相容性，证明交点空间具有 d-临界点簇结构。
• 利用典范丛平方根的存在性来定义定向数据，确保全局 perverse sheaf 与对偶性及单值性的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在复辛流形中两个定向复拉格朗日子流形的交点上，构造一个全局、典范的 perverse sheaf？
• RQ2 在极化变化下，重叠图上局部定义的消失上同调 perverse sheaf 是否具有典范同构？
• RQ3 复辛流形中的每个复拉格朗日子流形交点是否都具有解析 d-临界点簇结构？
• RQ4 该全局 perverse sheaf 与文献中已有的代数 d-临界点簇与 perverse sheaf 构造有何关系？
• RQ5 该全局 perverse sheaf 是否可作为通过矩阵因子化实现拉格朗日子流形交点数第二次范畴化的基础？

主要发现

• 在复辛流形中两个定向复拉格朗日子流形的复解析交点 $X = L \bigcap M$ 上，构造了典范的全局 perverse sheaf $P_{L,M}^{\bullet}$。
• 该 perverse sheaf $P_{L,M}^{\bullet}$ 在典范同构下唯一，并具备典范的 Verdier 对偶与单值性同构。
• 交点 $X$ 在 Joyce 理论的意义下自然具有定向解析 d-临界点簇结构。
• 该构造独立于代数 d-临界点簇框架，为 [BBDJS] 中的代数结果提供了首个解析对应。
• 全局 perverse sheaf $P_{L,M}^{\bullet}$ 同构于导出 Hom 复形 $R\text{Hom}({\frak D}^{\bullet}, {\frak E}^{\bullet})[n]$ 的上同调，与形变量子化相联系。
• 该结果支持一个猜想：通过 derived Lagrangians 的 Fukaya 范畴上的 ${\binom{\bbZ}{2}}$-周期三角范畴结构，可实现交点数的第二次范畴化。