[论文解读] Characterizations of processes with stationary and independent increments under $G$-expectation

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了在 $G$-期望下具有平稳独立增量的過程，證明若其可積函數為常數，則此類過程必為確定性過程。本文建立了 $G$-布朗運動的局部鞅特徵，並提出廣義 $G$-布朗運動的分解定理，表明任一均值為零的廣義 $G$-布朗運動可分解為一個對稱 $G$-布朗運動與一個具有平穩獨立增量的非正、非遞增 $G$-局部鞅之和。

ABSTRACT

Our purpose is to investigate properties for processes with stationary and independent increments under $G$-expectation. As applications, we prove the martingale characterization to $G$-Brownian motion and present a decomposition for generalized $G$-Brownian motion.

研究动机与目标

• 研究在 $G$-期望背景下具有平穩獨立增量之過程的結構與性質。
• 解決關於有限變動 $G$-局部鞅表示的開放問題。
• 基於其二次變異過程，建立 $G$-布朗運動的局部鞅特徵。
• 證明廣義 $G$-布朗運動可分解為一個對稱 $G$-布朗運動與一個非正、非遞增且具有平穩獨立增量的 $G$-局部鞅之和。

提出的方法

• 證明若 $A_t = \int_0^t h_s \, ds$ 或 $A_t = \int_0^t h_s \, d\langle B\rangle_s$ 具有平穩獨立增量，且 $h \in M^1_G(0,T)$ 或 $h \in M^{1,+}_G(0,T)$，則 $h \equiv c$ 對某常數 $c$ 成立。
• 利用次線性期望框架與 $G$-期望的性質，分析具有平穩獨立增量之過程的分佈。
• 應用伊藤公式與 $G$-伊藤積分理論，推導涉及 $\langle B\rangle_t$ 與 $G$-期望積分之過程的局部鞅性質。
• 採用分解方法，結合有界 $G$-局部鞅與非遞增 $G$-局部鞅，分析廣義 $G$-布朗運動的結構。
• 利用性質：對所有非遞減函數 $f \in C_{b,lip}(\mathbb{R})$，$f(M_t)$ 為 $G$-局部鞅，以特徵化具有有限變動的 $G$-局部鞅。
• 應用 $G$-局部鞅收斂與 $H^0_G(0,T)$ 中初等過程逼近的理論，證明表示與結構性結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，於 $G$-期望下具有平穩獨立增量之過程會簡化為確定性過程？
• RQ2 導數 $\frac{d}{ds}\langle B\rangle_s$ 是否屬於 $M^1_G(0,T)$？其對 $G$-局部鞅表示唯一性有何影響？
• RQ3 $G$-布朗運動能否由其二次變異過程的平穩與獨立性來特徵化？
• RQ4 每一個均值為零的廣義 $G$-布朗運動是否都能分解為一個對稱 $G$-布朗運動與一個非正、非遞增且具有平穩獨立增量的 $G$-局部鞅之和？
• RQ5 對稱 $G$-局部鞅為 $G$-布朗運動的必要且充分條件為何？

主要发现

• 過程 $\frac{d}{ds}\langle B\rangle_s$ 不屬於 $M^1_G(0,T)$，表示具有有限變動的 $G$-局部鞅之表示不具唯一性。
• 對稱 $G$-局部鞅 $\{M_t\}$ 為 $G$-布朗運動，當且僅當其二次變異過程 $\{\langle M\rangle_t\}$ 具有平穩獨立增量。
• 對稱 $G$-局部鞅 $\{M_t\}$ 為 $G$-布朗運動，當且僅當 $\langle M\rangle_t = c\langle B\rangle_t$ 對某 $c \geq 0$ 成立，從而建立必要且充分條件。
• 任一均值為零的廣義 $G$-布朗運動 $\{X_t\}$ 可分解為 $X_t = M_t + L_t$，其中 $\{M_t\}$ 為對稱 $G$-布朗運動，$\{L_t\}$ 為非正、非遞增且具有平穩獨立增量的 $G$-局部鞅。
• 具有有限變動的 $G$-局部鞅，其特徵為：對所有非遞減函數 $f \in C_{b,lip}(\mathbb{R})$，$f(M_t)$ 為 $G$-局部鞅，提供此類過程的結構性判據。
• $G$-局部鞅中具有有限變動者之類別，對非遞減利普希茨函數的複合是封閉的，且此類過程可由 $H^0_G(0,T)$ 中的初等過程逼近。