[论文解读] Cheeger-Gromov convergence in a conformal setting. I

Boris Botvinnik, Olaf Müller|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在共形变形下建立了带边界的黎曼流形序列的Cheeger-Gromov收敛性，表明若共形因子是适当椭圆算子的主特征函数，则原度量与共形度量均产生光滑收敛的子序列。关键贡献在于利用改进的椭圆估计，提出了一类新的共形设定下的紧致性结果。

ABSTRACT

For a sequence $\{(M_i, g_i, x_i)\}$ of pointed Riemannian manifolds with boundary, the sequence $\{(M_i, ilde g_i,x_i)\}$ is its conformal satellite if the metric $ ilde g_i$ is conformal to $g_i$, that is, $ ilde g_i=u^{\frac{4}{n-2}}_ig_i$. Assuming the manifolds $(M_i,g_i,x_i)$ have uniformly bounded geometry, we show that both sequences have smoothly Cheeger-Gromov convergent subsequences provided the conformal factors $u_i$ are principal eigenfunctions of an appropriate elliptic operator. Part of our result is a Cheeger-Gromov compactness for manifolds with boundary. We use stable versions of classical elliptic estimates and inequalities found in the recently established 'flatzoomer' method.

研究动机与目标

• 在共形设定下建立带边界的黎曼流形的Cheeger-Gromov紧致性结果。
• 分析在具有统一有界几何的共形变形下，带边点状黎曼流形序列的收敛行为。
• 证明当共形因子为椭圆算子的主特征函数时，原序列与共形序列均存在光滑收敛的子序列。
• 通过椭圆估计的稳定版本，将经典收敛技术推广至带边流形。

提出的方法

• 通过 $ \tilde{g}_i = u_i^{\frac{4}{n-2}} g_i $ 定义流形序列的共形卫星，其中 $ u_i $ 为共形因子。
• 分析基于假设 $ u_i $ 是 $ (M_i, g_i) $ 上二阶椭圆算子的主特征函数，从而确保一致控制。
• 应用源自“flatzoomer”方法的稳定经典椭圆估计与不等式，以处理边界并保持正则性。
• 利用几何与共形因子的统一有界性，通过Cheeger-Gromov拓扑提取收敛子序列。
• 该方法确保度量与共形因子在边界处达到 $ C^k $-收敛，借助Schauder型估计。
• 关键技术步骤包括利用椭圆算子的谱性质控制共形因子及其导数的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，带边界的共形变形黎曼流形序列在Cheeger-Gromov意义下存在光滑收敛的子序列？
• RQ2 流形上椭圆算子的主特征函数如何影响共形度量的收敛性？
• RQ3 能否将“flatzoomer”方法的稳定椭圆估计适应于带边流形，以确保收敛性？
• RQ4 统一有界几何在原度量与共形度量序列收敛性中起何种作用？
• RQ5 是否存在类似于闭流形经典紧致性定理的带边流形共形紧致性定理？

主要发现

• 通过 $ \tilde{g}_i = u_i^{\frac{4}{n-2}} g_i $ 定义的共形度量序列 $ \tilde{g}_i $ 在Cheeger-Gromov拓扑下存在光滑收敛的子序列。
• 当共形因子 $ u_i $ 为适当椭圆算子的主特征函数时，$ (M_i, g_i, x_i) $ 与 $ (M_i, \tilde{g}_i, x_i) $ 均存在光滑收敛的子序列。
• 收敛性通过适配至边界设定的稳定经典椭圆估计建立，该方法源自“flatzoomer”方法。
• $ (M_i, g_i, x_i) $ 的统一有界几何确保了此类收敛子序列的存在性。
• 该结果将Cheeger-Gromov紧致性推广至带边界的共形设定，为几何分析提供了新工具。