[论文解读] Circuit Treewidth, Sentential Decision, and Query Compilation

Simone Bova, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文证明了布尔函数中有界电路树宽与有界SDD（语句决策图）宽度之间的等价性，提供了类似于已知的有界电路路径宽与有界OBDD宽度之间等价性的紧致刻画。关键贡献在于为有界树宽的查询构建了多项式规模的SDD编译，从而通过可 tractable 的知识编译实现高效的概率查询评估。

ABSTRACT

The evaluation of a query over a probabilistic database boils down to computing the probability of a suitable Boolean function, the lineage of the query over the database. The method of query compilation approaches the task in two stages: first, the query lineage is implemented (compiled) in a circuit form where probability computation is tractable; and second, the desired probability is computed over the compiled circuit. A basic theoretical quest in query compilation is that of identifying pertinent classes of queries whose lineages admit compact representations over increasingly succinct, tractable circuit classes. Fostering previous work by Jha and Suciu (2012) and Petke and Razgon (2013), we focus on queries whose lineages admit circuit implementations with small treewidth, and investigate their compilability within tame classes of decision diagrams. In perfect analogy with the characterization of bounded circuit pathwidth by bounded OBDD width, we show that a class of Boolean functions has bounded circuit treewidth if and only if it has bounded SDD width. Sentential decision diagrams (SDDs) are central in knowledge compilation, being essentially as tractable as OBDDs but exponentially more succinct. By incorporating constant width SDDs and polynomial size SDDs, we refine the panorama of query compilation for unions of conjunctive queries with and without inequalities.

研究动机与目标

• 解决Jha和Suciu提出的开放问题：对于带有不等式的 conjunctive query 并集，有界电路树宽是否蕴含有界OBDD宽度。
• 识别一种知识编译目标类，其可 tractability 与OBDD相当，但表达更紧凑，适用于查询 lineage 编译。
• 将已知的通过OBDD宽度刻画有界路径宽的结论，推广至使用SDD作为标准形式的树宽。
• 通过引入常数宽度和多项式规模SDD，对UCQs（带与不带不等式）的查询编译图景进行细化。
• 研究SDD相较于其他结构化确定性形式及OBDD的相对紧凑性，特别是在概率数据库查询评估的背景下。

提出的方法

• 提出一种新颖的刻画方法，通过布尔函数及其电路表示的结构特性，将电路树宽与SDD宽度联系起来。
• 基于定理1采用矩形覆盖论证，利用Jensen不等式对结构化NNF导出的SDD组件大小进行上界估计。
• 在证明中分析两种互补情形：当一组变量在SDD结构中被完全覆盖时，以及当部分覆盖导致指数级下界时。
• 对变量对进行划分，定义区域 $ R_p $，其中SDD组件必须随划分大小呈指数增长，从而推导出组件大小的下界。
• 应用已知的关于确定性可分解电路和结构化NNF的结果，表明SDD可对这类形式进行模拟，且大小至多为原电路的线性规模。
• 利用SDD具有确定性、可分解性和结构性的特性，实现高效的概率计算，并为有界树宽 lineage 实现多项式规模编译。

实验结果

研究问题

• RQ1 正如Jha和Suciu所猜想的那样，带有不等式的 conjunctive query 并集，其有界电路树宽是否蕴含有界OBDD宽度？
• RQ2 SDD能否为有界电路树宽的布尔函数提供类似路径宽–OBDD宽度等价性的多项式规模编译？
• RQ3 在查询 lineage 编译的背景下，SDD相较于OBDD及其他结构化确定性形式的相对紧凑性如何？
• RQ4 如近期猜想所示，有界扇入OR门的SDD是否可被OBDD准多项式模拟？
• RQ5 基于因子化析取子句的规范结构化确定性形式，能否与SDD及因子化数据库中的数据结构进行有意义的比较？

主要发现

• 布尔函数类具有有界电路树宽当且仅当其具有有界SDD宽度，建立了与路径宽–OBDD宽度刻画类似的紧致等价关系。
• 对于任意电路树宽为 $ k $ 的布尔函数，存在大小为 $ O(f(k)n) $ 的SDD表示，其中 $ f(k) $ 是一个快速增长函数，其效率与路径宽情况下的OBDD相当。
• 本文证明SDD可对有界树宽 lineage 实现多项式规模编译，避免了OBDD中在树宽上出现的双指数依赖。
• 在 $ k $-划分结构中，至少一个SDD组件的大小下界为 $ 2^{ heta(n/k)} $，表明当覆盖不完全时存在固有的指数增长。
• 此前被认为可能是SDD与OBDD之间指数分离的候选函数——间接访问存储（ISA）函数，被证明具有小规模SDD，从而填补了紧凑性比较中的潜在缺口。
• 将常数宽度SDD与多项式规模SDD整合进UCQs（带与不带不等式）的查询编译框架中，细化了概率查询评估中已知的可 tractable 情况。