[论文解读] Classical shadows with Pauli-invariant unitary ensembles

Kaifeng Bu, Dax Enshan Koh+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 48被引用 11

一句话总结

本文提出了一种使用泡利不变酉集合的通用框架，用于经典阴影层析，即在乘以泡利算符时保持闭合的酉集合，从而实现显式重构映射和紧密的样本复杂度界限。该框架统一并扩展了关于 Clifford 和局部随机酉集合的先前结果，为估计量子态性质（如保真度、纠缠熵和量子费舍尔信息）提供了高效且抗噪声的协议。

ABSTRACT

The classical shadow estimation protocol is a noise-resilient and sample-efficient quantum algorithm for learning the properties of quantum systems. Its performance depends on the choice of a unitary ensemble, which must be chosen by a user in advance. What is the weakest assumption that can be made on the chosen unitary ensemble that would still yield meaningful and interesting results? To address this question, we consider the class of Pauli-invariant unitary ensembles, i.e. unitary ensembles that are invariant under multiplication by a Pauli operator. This class includes many previously studied ensembles like the local and global Clifford ensembles as well as locally scrambled unitary ensembles. For this class of ensembles, we provide an explicit formula for the reconstruction map corresponding to the shadow channel and give explicit sample complexity bounds. In addition, we provide two applications of our results. Our first application is to locally scrambled unitary ensembles, where we give explicit formulas for the reconstruction map and sample complexity bounds that circumvent the need to solve an exponential-sized linear system. Our second application is to the classical shadow tomography of quantum channels with Pauli-invariant unitary ensembles. Our results pave the way for more efficient or robust protocols for predicting important properties of quantum states, such as their fidelity, entanglement entropy, and quantum Fisher information.

研究动机与目标

• 确定仍能产生有意义的经典阴影结果的酉集合的最弱假设。
• 为泡利不变酉集合开发显式重构映射和样本复杂度界限。
• 将该框架应用于局部随机酉集合，避免求解指数级线性系统。
• 通过泡利不变集合将经典阴影层析推广至量子通道。
• 将重构系数与动力学的纠缠特征联系起来，以获得更深层次的物理洞察。

提出的方法

• 将泡利不变酉集合定义为在乘以任意泡利算符时保持不变的集合，包括 Clifford 和局部随机酉集合。
• 利用群论和迹恒等式，推导出阴影通道的显式重构映射公式。
• 通过阴影范数建立样本复杂度界限，将其与集合权重函数的逆相关联。
• 利用泡利不变酉集合的结构，在重构过程中将系统部分与测量部分解耦。
• 通过显式计算重构映射，将形式化方法应用于局部随机酉集合，避免求解大型线性系统。
• 通过将阴影协议扩展至通道输入和输出，将框架推广至量子通道层析。

实验结果

研究问题

• RQ1 对酉集合的最小结构假设是什么，才能仍能保证有效的经典阴影重构？
• RQ2 如何为泡利不变酉集合显式计算重构映射，其与纠缠特征有何关联？
• RQ3 能否为泡利不变酉集合在阴影范数下推导出样本复杂度界限？
• RQ4 能否在不求解指数级大线性系统的情况下，高效地将经典阴影框架应用于局部随机酉集合？
• RQ5 如何使用泡利不变集合将经典阴影层析推广至量子通道？

主要发现

• 为泡利不变酉集合下的经典阴影通道推导出显式重构映射，适用于任何此类集合，包括 Clifford 和局部随机集合。
• 基于阴影范数建立了样本复杂度界限，明确依赖于集合权重函数在泡利算符上的逆。
• 对于局部随机酉集合，显式计算了重构映射，避免了求解指数级大线性系统的需求。
• 证明了泡利算符 $ P_{\vec{a}} $ 的阴影范数为 $ \left\| \rho^T \otimes P_{\vec{a}} \right\|_{\mathcal{E}_{\mathcal{T}}} = W_{\mathcal{E}_o}[\vec{a}]^{-1} \frac{1}{2^{2n}} \sum_{\vec{a}_i} W_{\mathcal{E}_i}[\vec{a}_i]^{-1} W_\rho[\vec{a}_i] $，提供了可计算的界限。
• 该框架将经典阴影层析推广至量子通道，将先前结果扩展至任意泡利不变酉集合。