[论文解读] Cohomological Hall algebras and affine quantum groups

Yaping Yang, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为任意 quiver $Q$ 和形式群 $\mathbb{G}$ 关联的预投射上同调霍尔代数（CoHA）构造了一个乘法，使其成为一个双代数，并定义了其 Drinfeld 双代数，该双代数实现了对 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ 的量子仿射代数的量化。当 $\mathbb{G}$ 为加法群时，Drinfeld 双代数同构于 Drinfeld-Jimbo Yangian $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$，从而通过 CoHA 和混合格代数为仿射量子群提供了新的代数实现。

ABSTRACT

We study the preprojective cohomological Hall algebra (CoHA) introduced by the authors in an earlier work for any quiver $Q$ and any one-parameter formal group $\mathbb{G}$. In this paper, we construct a comultiplication on the CoHA, making it a bialgebra. We also construct the Drinfeld double of the CoHA. The Drinfeld double is a quantum affine algebra of the Lie algebra $\mathfrak{g}_Q$ associated to $Q$, whose quantization comes from the formal group $\mathbb{G}$. We prove, when the group $\mathbb{G}$ is the additive group, the Drinfeld double of the CoHA is isomorphic to the Yangian.

研究动机与目标

• 为任意 quiver $Q$ 和形式群 $\mathbb{G}$ 的预投射上同调霍尔代数（CoHA）构造一个乘法，使其成为一个双代数。
• 定义该双代数的 Drinfeld 双代数，该双代数对与 quiver $Q$ 关联的对称 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}_Q$ 的泛包络代数 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ 实现了量化。
• 通过 CoHA 框架建立对已知和新类型仿射量子群的统一代数构造。
• 证明当 $\mathbb{G}$ 为加法群时，CoHA 的 Drinfeld 双代数同构于 Drinfeld-Jimbo Yangian $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$。

提出的方法

• 该构造使用了 CoHA 的球面对扩张 $\mathcal{P}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}}(Q,A)$，其为一个具有两个等变参数 $t_1, t_2$ 的混合格代数。
• 通过在代数的 adele 版本上的留数配对，定义了一个乘法 $\Delta: \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}} \to \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}} \widehat{\otimes} \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}}$。
• 通过非退化的双代数配对构造了 Drinfeld 双代数，其乘法与余乘法使用与原双代数相同的公式。
• 该构造依赖于混合格代数结构以及预投射代数表示模空间的几何性质。
• 通过商去挠子并施加对称条件 $H_k^+(u) = H_k^-(-u)$，定义了约化后的 Drinfeld 双代数 $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$。
• 通过将生成元 $x_k^+(u), x_k^-(u), \xi_k(u)$ 映射到双代数中的 $E_k(u), F_k(u), H_k(u)$，并利用留数计算验证 Yangian 关系，建立了与 Yangian 的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意 quiver $Q$ 和形式群 $\mathbb{G}$ 的预投射上同调霍尔代数定义一个乘法，使其成为一个双代数？
• RQ2 该双代数的 Drinfeld 双代数是否实现了对对称 Kac-Moody 代数 $\mathfrak{g}_Q$ 的 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ 的量化？
• RQ3 当 $\mathbb{G}$ 为加法群时，该双代数的 Drinfeld 双代数是否同构于 Drinfeld-Jimbo Yangian？
• RQ4 当 $\mathbb{G}$ 为椭圆曲线时，该构造是否能恢复 [Fed94] 中的椭圆量子群？
• RQ5 对于有限型和仿射 Dynkin 型的 quiver，从 Yangian 到约化双代数的映射是否为同构？

主要发现

• 预投射上同调霍尔代数 $\mathcal{P}(Q,A)$ 允许一个乘法 $\Delta$，使其成为一个双代数，该乘法通过代数的 adele 版本上的留数配对定义。
• Drinfeld 双代数 $D(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ 是对 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ 的量化，其配对通过在完成张量积上的留数定义。
• 当 $\mathbb{G}$ 为加法群时，在 $t_1 = t_2 = \hbar/2$ 处，约化后的 Drinfeld 双代数 $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ 同构于无边环的 Drinfeld-Jimbo Yangian $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$。
• 对于有限型 quiver，从 $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$ 到 $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ 的映射是同构，通过匹配三角分解得到验证。
• 该构造可推广至非代数群导出的形式群，从而产生新的仿射量子群，并在 $\mathbb{G}$ 为椭圆曲线时恢复 [Fed94] 中的椭圆量子群。
• 预计双 Yangian $DY_\hbar(\mathfrak{g})$ 可嵌入约化版的 Drinfeld 双代数中，暗示该 CoHA 框架可更广泛地实现双量子群。