[论文解读] Two-Sphere Partition Functions and Gromov-Witten Invariants

Hans Jockers, Vijay Kumar+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 86被引用 21

一句话总结

本文提出，N=(2,2) 规范线性sigma模型（GLSM）的两sphere划分函数可计算卡拉比-丘三fold的量子凯勒模空间上的精确凯勒势，从而无需镜像对称即可直接计算亏格零的格罗莫夫-威滕不变量。该方法在五次三fold和罗德兰的 Pfaffian 卡拉比-丘三fold 上得到验证，并应用于 ℙ⁷ 中一个新的余维四确定性卡拉比-丘三fold，预测其存在 192 条双次数为 (1,1) 的有理曲线，且通过了几何检验。

ABSTRACT

Many N=(2,2) two-dimensional nonlinear sigma models with Calabi-Yau target spaces admit ultraviolet descriptions as N=(2,2) gauge theories (gauged linear sigma models). We conjecture that the two-sphere partition function of such ultraviolet gauge theories -- recently computed via localization by Benini et al. and Doroud et al. -- yields the exact Kähler potential on the quantum Kähler moduli space for Calabi-Yau threefold target spaces. In particular, this allows one to compute the genus zero Gromov-Witten invariants for any such Calabi-Yau threefold without the use of mirror symmetry. More generally, when the infrared superconformal fixed point is used to compactify string theory, this provides a direct method to compute the spacetime Kähler potential of certain moduli (e.g., vector multiplet moduli in type IIA), exactly in α'. We compute these quantities for the quintic and for Rødland's Pfaffian Calabi-Yau threefold and find agreement with existing results in the literature. We then apply our methods to a codimension four determinantal Calabi-Yau threefold in P^7, recently given a nonabelian gauge theory description by the present authors, for which no mirror Calabi-Yau is currently known. We derive predictions for its Gromov-Witten invariants and verify that our predictions satisfy nontrivial geometric checks.

研究动机与目标

• 开发一种无需镜像对称的卡拉比-丘三fold 格罗莫夫-威滕不变量计算方法。
• 建立 N=(2,2) GLSM 的两sphere划分函数与卡拉比-丘三fold 量子凯勒模空间上精确凯勒势之间的直接联系。
• 对无已知镜像的卡拉比-丘三fold（如 ℙ⁷ 中的余维四确定性流形）计算格罗莫夫-威滕不变量。
• 通过非平凡的几何检验（包括关联对应构造中的曲线计数）验证预测。

提出的方法

• 通过局部化方法计算 UV 阶段 GLSM 的两sphere划分函数，依据 Benini 等人与 Doroud 等人的推导。
• 推测该划分函数可给出 IR 阶段卡拉比-丘三fold 的量子凯勒模空间上的精确凯勒势。
• 从凯勒势出发，通过特定的解析延拓与系数提取程序，提取亏格零的格罗莫夫-威滕不变量。
• 对于 ℙ⁷ 中的新确定性卡拉比-丘三fold，使用作者先前构建的非阿贝尔 GLSM 描述应用该方法。
• 通过旗流形上一个完备交的构造，计算 ℳ₁,₁ 上一个秩五向量丛的上陈类，得到双次数 (1,1) 的有理曲线数量。
• 通过检查与模空间 ℳ₁,₁ 上的关联对应及上同调环结构的一致性，验证了预测。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过 N=(2,2) GLSM 的两sphere划分函数，在不依赖镜像对称的前提下直接计算格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 GLSM 的两sphere划分函数是否编码了卡拉比-丘三fold 量子凯勒模空间上的精确凯勒势？
• RQ3 该方法能否对无已知镜像的卡拉比-丘三fold（如余维四确定性流形）预测格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ4 所预测的不变量是否满足非平凡的几何约束，例如在关联对应中的曲线计数？

主要发现

• GLSM 的两sphere划分函数正确再现了五次三fold 的亏格零格罗莫夫-威滕不变量，与已知结果一致。
• 对于罗德兰的 Pfaffian 卡拉比-丘三fold，该方法再现了预期的不变量，证实其在非阿贝尔 GLSM 之外也有效。
• 该方法预测 ℙ⁷ 中余维四确定性卡拉比-丘三fold 存在 192 条双次数为 (1,1) 的有理曲线，这是新的数学预测。
• 预测的 192 条曲线满足非平凡的几何检验，包括与上同调环结构及 ℳ₁,₁ 上关联对应结构的一致性。
• 格罗莫夫-威滕不变量的计算通过 UV 理论中的直接高能计算实现，无需依赖镜像构造。
• ℳ₁,₁ 上秩五丛 ℱ̂ 的上陈类 c₅(ℱ̂)⁴ = 192，正确给出了 (1,1)-直线的数量，从而验证了预测。