[论文解读] Comparison of viscosity solutions of fully nonlinear degenerate parabolic Path-dependent PDEs

Zhenjie Ren, Nizar Touzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过受Jensen、Lions与Souganidis启发的正则化方法，为完全非线性、退化的抛物型路径相关PDE的粘性解建立了比较原理。引入了解与非线性项在L^p型连续性条件下的设定，使退化及一阶路径相关PDE得以处理，并通过避免依赖有限维PDE结果，显著简化了先前的证明。

ABSTRACT

We prove a comparison result for viscosity solutions of (possibly degenerate) parabolic fully nonlinear path-dependent PDEs. In contrast with the previous result in Ekren, Touzi & Zhang, our conditions are easier to check and allow for the degenerate case, thus including first order path-dependent PDEs. Our argument follows the regularization method as introduced by Jensen, Lions & Souganidis in the corresponding finite-dimensional PDE setting. The present argument significantly simplifies the comparison proof in Ekren, Touzi & Zhang, but requires an $L^p-$type of continuity (with respect to the path) for the viscosity semi-solutions and for the nonlinearity defining the equation.

研究动机与目标

• 为完全非线性、可能退化的抛物型路径相关PDE的粘性解建立比较原理。
• 通过允许退化并简化验证条件，放宽Ekren、Touzi与Zhang（2014）先前工作中所需的技术条件。
• 基于Jensen、Lions与Souganidis的正则化方法，发展适用于路径相关设定的证明策略。
• 确保比较结果独立于存在性理论，从而可应用于Perron方法及数值格式的收敛性分析。
• 将适定性理论扩展至包含一阶路径相关PDE，此前因条件限制而被排除。

提出的方法

• 将Jensen、Lions与Souganidis的正则化方法适配至路径相关PDE设定，采用概率框架。
• 对粘性上解与非线性项G在路径变量上施加L^p型连续性条件。
• 利用动态规划形式化，估计解在d_p度量下的一致连续性。
• 通过随机微分方程估计与Gronwall不等式，控制解对初始路径扰动的敏感性。
• 应用P-点可微性的概念，将Caffarelli与Cabré的理论扩展至路径相关设定。
• 通过正则化测试函数的极限论证建立比较，避免依赖有限维PDE结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱于Ekren、Touzi与Zhang（2014）的条件下，能否为完全非线性、退化的路径相关PDE的粘性解建立比较原理？
• RQ2 有限维粘性理论中的正则化方法是否可推广至具有L^p型连续性的路径相关设定？
• RQ3 比较结果能否独立于存在性理论，从而支持Perron方法的应用？
• RQ4 P-粘性解类是否足够丰富，可包含一阶路径相关PDE？
• RQ5 P-点可微性在证明路径相关PDE比较性中起何作用？

主要发现

• 本文在L^p型连续性条件下，为完全非线性、可能退化的抛物型路径相关PDE的粘性解建立了比较原理。
• 通过避免将问题约化为有限维PDE，显著简化了先前论证，大幅降低了技术复杂度。
• 该方法允许包含一阶路径相关PDE，此前因退化约束而被先前工作排除。
• 通过动态规划定义的解u被证明是d_p一致连续的，且显式界依赖于σ的Lipschitz常数与时间范围。
• 估计式 |u(t,ω) - u(t',ω)| ≤ ρ((1 + ˜C^{1/2p})((T+1)Ĉ)^{1/p} (t'−t)^{1/2}) 表明时间上具有指数为1/2的Hölder连续性。
• 结果确认，具有适当可积性的P-粘性上解几乎处处（Lebesgue⊗P₀-a.e.）为P-点可微，这是证明中的关键技术工具。