[论文解读] Complexity of quantum circuits via sensitivity, magic, and coherence

Kaifeng Bu, Roy J. Garcia+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 87被引用 7

一句话总结

该论文通过引入量子版本的傅里叶熵-影响（FEI）猜想，建立了量子线路复杂度与三种关键量子资源——灵敏度、魔法态和相干性——之间的基础性联系。证明了灵敏度为零的酉操作恰好是匹配门（matchgates），表明灵敏度是实现量子优势的必要条件，并通过魔法态和相干性推导出线路复杂度的界限，为理解量子加速与模拟极限提供了新工具。

ABSTRACT

Quantum circuit complexity-a measure of the minimum number of gates needed to implement a given unitary transformation-is a fundamental concept in quantum computation, with widespread applications ranging from determining the running time of quantum algorithms to understanding the physics of black holes. In this work, we study the complexity of quantum circuits using the notions of sensitivity, average sensitivity (also called influence), magic, and coherence. We characterize the set of unitaries with vanishing sensitivity and show that it coincides with the family of matchgates. Since matchgates are tractable quantum circuits, we have proved that sensitivity is necessary for a quantum speedup. As magic is another measure to quantify quantum advantage, it is interesting to understand the relation between magic and sensitivity. We do this by introducing a quantum version of the Fourier entropy-influence relation. Our results are pivotal for understanding the role of sensitivity, magic, and coherence in quantum computation.

研究动机与目标

• 理解灵敏度、魔法态和相干性在量子线路复杂度中的作用。
• 为量子布尔函数建立经典傅里叶熵-影响（FEI）猜想的量子类比。
• 表征灵敏度为零的酉操作，并将其与可经典模拟的匹配门类联系起来。
• 将魔法态（非稳定器资源的度量）与线路复杂度及灵敏度联系起来。
• 利用相干性和灵敏度提供量子线路复杂度的新下界。

提出的方法

• 通过Carlen和Lieb提出的噪声算子，将灵敏度的概念从布尔函数推广至酉操作。
• 引入量子版本的傅里叶熵-影响（FEI）关系，将Wigner函数的熵与量子可观测量的影响联系起来。
• 使用离散Wigner函数与辛傅里叶变换来表示量子态与算符，从而实现对灵敏度与魔法态的分析。
• 将线路成本视为弯曲几何中的测地距离，以界定线路复杂度。
• 推导出平均混淆度与平均灵敏度之间的关系，从而将动力学复杂度与结构性灵敏度联系起来。
• 运用Gottesman-Knill定理与稳定器形式化方法，表征匹配门为唯一灵敏度为零的酉操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子线路复杂度与酉操作的灵敏度之间存在何种关系？
• RQ2 量子傅里叶熵-影响（FEI）猜想如何关联魔法态与线路复杂度？
• RQ3 哪些酉操作具有零灵敏度，其计算意义为何？
• RQ4 灵敏度能否作为量子计算加速的必要条件？
• RQ5 相干性与魔法态如何共同决定量子线路的复杂度？

主要发现

• 灵敏度为零的线路——称为稳定酉操作——恰好是匹配门，这类量子线路可被经典模拟。
• 灵敏度是实现量子计算优势的必要条件，因为匹配门是唯一灵敏度为零的酉操作。
• 本文建立了FEI猜想的量子版本，将Wigner函数的傅里叶熵与可观测量的影响联系起来。
• 通过量子态的魔法态推导出线路复杂度的界限，表明更高的魔法态对应更高的复杂度。
• 量子线路的平均灵敏度与平均混淆度相关，为灵敏度提供了动力学解释。
• 离散Wigner函数与辛傅里叶变换提供了一个框架，可将量子线路复杂度表达为相空间分布的形式。