[论文解读] Computational Higher Type Theory IV: Inductive Types

Evan Cavallo, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文在计算高阶类型理论中引入了归纳类型的形式化框架，通过一种新颖的类型理论方法扩展了类型系统，以支持归纳构造。它利用高维类型结构建立了一个归纳类型的可靠且完备的演算，通过改进的转换规则和上下文管理，实现了依赖模式匹配和证明相关的相等性。

ABSTRACT

This is the fourth in a series of papers extending Martin-Löf's meaning explanation of dependent type theory to higher-dimensional types. In this installment, we show how to define cubical type systems supporting a general schema of indexed cubical inductive types whose constructors may take dimension parameters and have a specified boundary. Using this schema, we are able to specify and implement many of the higher inductive types which have been postulated in homotopy type theory, including homotopy pushouts, the torus, $W$-quotients, truncations, arbitrary localizations. By including indexed inductive types, we enable the definition of identity types. The addition of higher inductive types makes computational higher type theory a model of homotopy type theory, capable of interpreting almost all of the constructions in the HoTT Book (with the exception of inductive-inductive types). This is the first such model with an explicit canonicity theorem, which specifies the canonical values of higher inductive types and confirms that every term in an inductive type evaluates to such a value.

研究动机与目标

• 在计算高阶类型理论中形式化归纳类型，扩展类型系统以支持复杂的归纳构造。
• 在存在高维类型和依赖模式匹配的情况下，确保类型安全和计算充分性。
• 定义一个支持证明相关相等性的转换规则，并在归纳类型族之间保持类型正确性。
• 将归纳类型整合到一个同时支持计算和逻辑推理的类型理论框架中。
• 为基于高阶类型理论的正式验证和证明助手提供基础。

提出的方法

• 引入一种具有改进上下文结构 (Γ; γ.¯I; γ.Θ; ¯x.∅) 的类型系统，以管理归纳类型声明及其依赖关系。
• 采用基于证明相关判断的转换规则，通过带下标投影的箭头符号 (p_j : b_j) 表示，以追踪相等性证明。
• 使用高维类型结构来建模基于路径的相等性和依赖消除的归纳类型。
• 应用一种形式化的转换机制，确保在替换和模式匹配下保持类型正确性。
• 通过上下文和类型族上的闭包算子定义归纳类型，支持相互和嵌套的归纳定义。
• 将演算与一个证明相关的相等性系统集成，其中转换不仅是判断，还携带计算内容。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持类型安全和计算行为的前提下，将归纳类型正式整合到计算高阶类型理论中？
• RQ2 证明相关的相等性在归纳类型的转换机制中起什么作用？
• RQ3 如何在高维类型系统中可靠地建模依赖模式匹配？
• RQ4 为了支持相互和嵌套的归纳定义，上下文和类型族需要哪些结构约束？
• RQ5 所提出的转换规则如何确保在归纳类型族及其消除之间保持类型正确性？

主要发现

• 本文建立了一个可靠且完备的类型系统，用于计算高阶类型理论中的归纳类型，支持依赖模式匹配和证明相关的相等性。
• 转换规则 (p_j : b_j) 在替换下被证明保持类型正确性，并支持携带证明的类型相等性。
• 上下文结构 (Γ; γ.¯I; γ.Θ; ¯x.∅) 支持具有相互依赖关系的归纳族的模块化和可扩展定义。
• 该框架同时支持计算和逻辑推理，适用于正式验证和证明助手。
• 该系统确保所有归纳类型消除都是良类型化，并且在给定的转换规则下能正确归约。
• 该方法为在基于类型理论的证明助手中实现高阶归纳类型提供了基础。