[论文解读] Consensus on the Initial Global Majority by Local Majority Polling for a Class of Sparse Graphs

Mohammed Amin Abdullah, Moez Draief|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文分析了在具有给定度序列的稀疏图上运行的局部多数协议，表明在初始偏置足够大的情况下，以高概率在 $A \log_d \log_d n$ 时间内达成对全局多数的一致。对于 $d$-正则图，协议在 $O(\log n)$ 时间内以概率 $1 - O(c^{-n^\varepsilon})$ 收敛到初始多数，展示了在温和条件下强大的收敛保证。

ABSTRACT

We study the local majority protocol on simple graphs of a given degree sequence, for a certain class of degree sequences. We show that for almost all such graphs, subject to a sufficiently large bias, within time $A \log_d \log_d n$ the local majority protocol achieves consensus on the initial global majority with probability $1-n^{-\Omega((\log n)^{\varepsilon})}$, where $\varepsilon>0$ is a constant. $A$ is bounded by a universal constant and $d$ is a parameter of the graph; the smallest integer which is the degree of $\Theta(n)$ vertices in the graph. We further show that under the assumption that a vertex $v$ does not change its colour if it and all of its neighbours are the same colour, \emph{any} local protocol $\mathcal{P}$ takes time at least $(1-o(1))\log_d\log_d n$, with probability $1-e^{-\Omega(n^{1-o(1)})}$ on such graphs. We further show that for almost all $d$-regular simple graphs with $d$ constant, we can get a stronger probability to convergence of initial majority at the expense of time. Specifically, with probability $1-O\brac{c^{-n^{\varepsilon}}}$, the local majority protocol achieves consensus on the initial majority by time $O(\log n)$. Finally, we show how the technique for the above sparse graphs can be applied in a straightforward manner to get bounds for the Erd\H{o}s--Renyi random graphs in the connected regime.

研究动机与目标

• 建立局部多数协议在稀疏图上实现对初始全局多数一致的条件。
• 确定在给定度序列的图上，局部多数动力学形成一致的时间复杂度。
• 证明任何局部协议在该类图上达成一致所需时间的下界。
• 将正则图上的结果扩展到一般稀疏图以及连通区域内的 Erd\'os--Rényi 随机图。

提出的方法

• 分析具有指定度序列的图上的局部多数协议，重点关注出现在 $\Theta(n)$ 个顶点上的最小度 $d$。
• 使用概率分析表明，在初始偏置足够大的情况下，以高概率在 $A \log_d \log_d n$ 时间内达成对全局多数的一致。
• 通过假设当一个顶点及其所有邻居颜色相同时不发生颜色变化，建立下界论证，证明任何协议至少需要 $(1-o(1))\log_d\log_d n$ 时间。
• 通过牺牲时间换取更高置信度，为 $d$-正则图建立更强的收敛概率 $1 - O(c^{-n^\varepsilon}})$。
• 将稀疏图的分析方法适配到连通区域内的 Erd\'os--Rényi 随机图，将结果扩展到更广泛的随机图类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，局部多数协议在稀疏图上实现对初始全局多数的一致？
• RQ2 在具有给定度序列的图上，通过局部多数动力学形成一致的时间复杂度是什么？
• RQ3 在该类图上，不同局部协议的收敛时间下界如何比较？
• RQ4 是否可以通过增加时间来提高 $d$-正则图的收敛概率？
• RQ5 稀疏图的分析在多大程度上可以推广到连通区域内的 Erd\'os--Rényi 随机图？

主要发现

• 在所研究类别的几乎所有图中，局部多数协议以概率 $1 - n^{-\Omega((\log n)^\varepsilon)}$ 在 $A \log_d \log_d n$ 时间内达成对初始全局多数的一致。
• 任何局部协议在该类图上以概率 $1 - e^{-\Omega(n^{1-o(1)})}$ 达成一致，至少需要 $(1-o(1))\log_d\log_d n$ 时间。
• 对于常数 $d$ 的 $d$-正则图，协议在 $O(\log n)$ 时间内以概率 $1 - O(c^{-n^\varepsilon})$ 达成对初始多数的一致。
• 收敛时间界 $A \log_d \log_d n$ 是紧的，其常数因子由下界证明。
• 用于稀疏图的方法可直接应用于连通区域内的 Erd\'os--Rényi 随机图，得到类似的收敛结果。