[论文解读] Consistent mass matrix of ten nodes tetrahedral element based on analytical integration

Eli Hanukah|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为10节点四面体有限元的协调质量矩阵提供了闭式解析表达式，对直边单元采用精确积分，对曲边单元采用半解析近似。所提出的常数（CM）、线性（LM）和二次（QM）度量近似方法生成了高度精确且计算高效的质量矩阵，其在准确性和效率方面均优于标准高斯积分方案。

ABSTRACT

Currently, components of consistent mass matrix are computed using various numerical integration schemes, each one alters in number of integration (Gauss) points, requires different amount of computations and possess different level of accuracy. We discuss the closed-form mass matrix based on analytical integration. Curved-sided and straight-sided elements are considered. For a straight-sided element we derive an exact analytical easy to implement consistent mass matrix. For a curved-sided element an exact analytical mass matrix is derived, however it is rather lengthy, hence approximations are proposed. Three systematic approximations to the metric (jacobian determinant) are suggested; constant metric (CM), linearly varying metric (LM) and quadratic metric (QM). CM requires evaluation of the metric at the centroid, LM requires metric evaluations at the four corner nodes and QM uses metric values at all the ten nodes. Analytical integration together with approximated metric models yields closed-form semi-analytical mass matrices. The accuracy of the schemes is studied numerically using randomly generated coarse mesh. Our findings reveal significant superiority in accuracy and computations over equivalent schemes. An important implication of this study is that based on the results, it is superior to use our CM, LM and QM semi-analytical mass matrices over mass matrices based on numerical integration schemes which involve four, five and fifteen point Gauss quadrature. For a straight-sided element, CM, LM and QM admit an exact consistent mass matrix.

研究动机与目标

• 为有限元分析中使用的10节点四面体单元开发精确且高效的协调质量矩阵。
• 克服传统数值积分方案（如高斯积分）在计算成本和准确度方面的局限性。
• 为直边单元提供闭式解，为曲边单元提供实用的半解析近似。
• 评估并比较不同度量近似模型（CM、LM、QM）与标准数值积分方法在准确度和计算效率方面的表现。

提出的方法

• 通过在单元域上进行解析积分，推导出直边10节点四面体单元的精确解析协调质量矩阵。
• 提出三种对雅可比行列式（度量）的近似：在形心处取常数（CM）、从角点线性变化（LM）以及从全部十个节点二次变化（QM）。
• 将解析积分与近似度量模型结合，生成闭式半解析质量矩阵。
• 通过随机生成的粗网格进行数值实验，验证准确度和计算性能。
• 以4、5和15个点的高斯积分作为基准进行比较。
• 将该方法应用于曲边和直边单元，仅对后者获得精确结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过解析积分，为直边10节点四面体单元推导出精确的解析协调质量矩阵？
• RQ2 对于精确积分不切实际的曲边10节点四面体单元，如何构建准确且高效的质量矩阵？
• RQ3 CM、LM和QM度量近似在准确度和计算成本方面与标准高斯积分方案相比如何？
• RQ4 所提出的半解析方法是否在准确度和效率方面均优于使用4、5或15个高斯点的数值积分？

主要发现

• 对于直边10节点四面体单元，由于形函数和几何形状的多项式性质，CM、LM和QM近似可产生精确的协调质量矩阵。
• CM、LM和QM半解析质量矩阵的准确度显著高于使用4、5或15个高斯点的等效数值积分方案。
• 所提出的方法在保持或提升准确度的同时降低了计算成本，尤其在粗网格配置下表现更优。
• CM近似仅需一次度量计算（在形心处），LM需四次计算（在角点处），QM则使用全部十个节点的值，准确度和复杂度逐步提高。
• 数值结果表明，对于测试的网格配置，半解析方法在准确度和效率方面均优于标准高斯积分。
• 研究结论认为，使用CM、LM或QM半解析质量矩阵，优于使用数值积分方案处理10节点四面体单元。