[论文解读] Constant-Time Dynamic $(\Delta+1)$-Coloring and Weight Approximation for Minimum Spanning Forest: Dynamic Algorithms Meet Property Testing

Monika Henzinger, Pan Peng|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用 5

一句话总结

本论文首次提出了针对(∆+1)-顶点着色和(1+ε)-近似最小生成森林（MSF）权重的完全动态图算法，其均摊更新时间保持为常数。通过将性质测试技术整合到动态算法中，该方法在面对自适应敌手时，实现了着色问题的最优O(1)更新时间以及MSF权重近似的次对数时间复杂度，从而突破了长期存在的下界障碍。

ABSTRACT

With few exceptions (namely, algorithms for maximal matching, $2$-approximate vertex cover, and certain constant-stretch spanners), all known fully dynamic algorithms in general graphs require (amortized) $\Omega(\log n)$ update/query time. Showing for the first time that techniques from property testing can lead to constant-time fully dynamic graph algorithms we prove the following results: (1) We give a fully dynamic (Las-Vegas style) algorithm with constant expected amortized time per update that maintains a proper $(\Delta+1)$-vertex coloring of a graph with maximum degree at most $\Delta$. This improves upon the previous $O(\log \Delta)$-time algorithm by Bhattacharya et al. (SODA 2018). We show that our result does not only have optimal running time, but is also optimal in the sense that already deciding whether a $\Delta$-coloring exists in a dynamically changing graph with maximum degree at most $\Delta$ takes $\Omega(\log n)$ time per operation. (2) We give two fully dynamic algorithms that maintain a $(1+\varepsilon)$-approximation of the weight $M$ of the minimum spanning forest of a graph $G$ with edges weights in $[1,W]$. Our deterministic algorithm takes $O({W^2 \log W}/{\varepsilon^3})$ worst-case time, which is constant if both $W$ and $\varepsilon$ are constant. This is somewhat surprising as a lower bound by Patrascu and Demaine (SIAM J. Comput. 2006) shows that it takes $\Omega(\log n)$ time per operation to maintain the exact weight of the MSF that holds even for $W=1$. Our randomized (Monte-Carlo style) algorithm works with high probability and runs in worst-case $O(\frac{1}{\varepsilon^4}\log^2(\frac{1}{\varepsilon}))$ time if $W= O({(m^*)^{1/3}}/{\log^3 n})$, where $m^*$ is the minimum number of edges in the graph throughout all the updates. It works even against an adaptive adversary.

研究动机与目标

• 通过利用性质测试技术，突破动态图问题中长期存在的Ω(log n)均摊时间下界。
• 设计一种完全动态算法，以O(1)期望均摊更新时间维护一个正确的(∆+1)-顶点着色，优于先前的O(log ∆)界。
• 开发完全动态算法，用于近似计算最小生成森林（MSF）的权重，实现(1+ε)-近似，并在特定参数约束下达到常数最坏情况更新时间。
• 证明性质测试方法可产生实际且最优的动态算法，即使在自适应敌手存在的情况下亦成立。
• 证明在动态图中判定∆-可着色性本质上需要Ω(log n)时间/操作，从而确立新着色算法的最优性。

提出的方法

• 提出一种随机化动态算法，通过受性质测试启发的采样与局部重着色机制维护(∆+1)-着色，并采用分阶段结构，定期使用常数时间静态算法重新计算着色。
• 采用基于阶段的结构，每ε′Ψ/4次更新触发一次使用引理4.9中静态算法的着色估计器重新计算，确保有界加法误差。
• 使用分层采样策略，通过维护动态估计器c并周期性重置，以加法误差ε′·T(G)估计连通分量数ncc(G)，其中T(G) ≥ nis(G)。
• 应用全局重建技术以消除均摊分析，实现最坏情况下的O(max{1, log(1/ε′) log(1/p)/ε′³T∗})更新时间，其中T∗为所有更新中T(G)的最小值。
• 利用性质测试算法可通过在每个阶段重新初始化新鲜随机性而适应动态环境的事实，使其对自适应敌手具有鲁棒性。
• 使用参数化静态算法（引理4.9）在每阶段以常数时间计算ncc(Gnis)的(1±ε′/4)-近似，再通过增加孤立点数量调整以估计ncc(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用性质测试技术设计出具有常数更新时间的完全动态图算法，从而突破Ω(log n)的障碍？
• RQ2 是否可能在完全动态图中以O(1)期望均摊更新时间维护一个正确的(∆+1)-顶点着色？
• RQ3 能否在自适应敌手存在下，以最坏情况下的常数时间维护(1+ε)近似MSF权重？
• RQ4 在有界度动态图中判定∆-可着色性的内在复杂度是什么？
• RQ5 如何将亚线性时间的性质测试方法适配到动态图不变量的维护中，以实现有界误差与低更新成本？

主要发现

• 论文提出了一种完全动态(∆+1)-着色算法，其期望均摊更新时间为O(1)，优于先前的O(log ∆)界。
• 证明了在最大度为∆的动态图中判定是否存在∆-着色需要Ω(log n)时间/操作，从而确立了新算法的最优性。
• 一种确定性算法以O(W² log W / ε³)最坏情况时间维护(1+ε)-近似MSF权重，当W与ε为常数时，该时间复杂度为常数。
• 一种高概率随机化算法在W = O((m*)¹ᐟ³ / log³ n)时，最坏情况更新时间为O(1/ε⁴ log²(1/ε))，其中m*为所有更新中边数的最小值。
• 该算法对自适应敌手有效，因其在每个阶段使用新鲜随机位，并在每个阶段内进行最坏情况分析。
• 通过结合周期性静态重新计算与孤立点的动态追踪，该方法以高概率在估计连通分量数时实现加法误差ε′·T(G)。