[论文解读] Continuous-variable quantum state designs: theory and applications

Joseph T. Iosue, Kunal Sharma+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 126被引用 4

一句话总结

本文引入了在笼架希尔伯特空间中的非可归一化态的连续变量（CV）量子态 $t$-设计——即刚性连续变量（CV）量子态设计——以克服在无限维希尔伯特空间中标准CV态 $t$-设计在 $t \geq 2$ 时不存在的问题。通过使用福克态和相位态，本文显式构造了 $t=2$ 的刚性设计，实现了基于设计的阴影层析协议，并将环面 $2$-设计与完全互为正交基（MUBs）集合联系起来。

ABSTRACT

We generalize the notion of quantum state designs to infinite-dimensional spaces. We first prove that, under the definition of continuous-variable (CV) state $t$-designs from Comm. Math. Phys. 326, 755 (2014), no state designs exist for $t\geq2$. Similarly, we prove that no CV unitary $t$-designs exist for $t\geq 2$. We propose an alternative definition for CV state designs, which we call rigged $t$-designs, and provide explicit constructions for $t=2$. As an application of rigged designs, we develop a design-based shadow-tomography protocol for CV states. Using energy-constrained versions of rigged designs, we define an average fidelity for CV quantum channels and relate this fidelity to the CV entanglement fidelity. As an additional result of independent interest, we establish a connection between torus $2$-designs and complete sets of mutually unbiased bases.

研究动机与目标

• 解决标准连续变量（CV）量子态 $t$-设计在无限维希尔伯特空间中 $t \geq 2$ 时根本性不存在的限制。
• 通过放松可归一化条件，为CV系统提出量子设计的有意义推广。
• 在连续变量量子系统中实现新应用，如阴影层析与保真度估计。
• 在有限维希尔伯特空间中，建立环面 $2$-设计与完全互为正交基（MUBs）集合之间的联系。
• 为CV量子通道定义能量约束下的平均保真度，并将其与CV纠缠保真度关联。

提出的方法

• 通过在对偶空间 $S(\mathbb{R})'$ 中使用非可归一化态引入刚性 $t$-设计，将希尔伯特空间扩展至包含缓增分布。
• 通过使用福克态和相位态显式构造 $t=2$ 的刚性设计，其构成用于相位估计的正算子值测度（POVM）。
• 基于刚性 $2$-设计开发了一种用于CV态的基于设计的阴影层析协议，以估计低次多项式可观测量的期望值。
• 通过定义能量约束下的刚性设计，实现对CV量子通道的平均保真度估计。
• 利用单纯形设计与态设计之间的联系，通过反证法证明标准CV $t$-设计在 $t \geq 2$ 时不存在。
• 通过证明互为正交基对应于大小为 $n^2$ 的等权重环面 $2$-设计，建立了 $n$-环面 $2$-设计与 $\mathbb{C}^n$ 中完全互为正交基集合之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维希尔伯特空间中，标准连续变量量子态 $t$-设计在 $t \geq 2$ 时是否存在？
• RQ2 当标准设计失效时，能否为连续变量系统提出量子设计的有意义推广？
• RQ3 能否显式构造刚性 $t$-设计，且其是否支持实际的量子信息协议？
• RQ4 在有限维希尔伯特空间中，环面 $2$-设计与完全互为正交基（MUBs）集合之间是否存在联系？
• RQ5 能量约束下的刚性设计能否用于为CV量子通道定义有意义的平均保真度，并将其与纠缠保真度关联？

主要发现

• 在任意可分的无限维希尔伯特空间（包括 $L^2(\mathbb{R})$）中，标准连续变量态 $t$-设计在 $t \geq 2$ 时均不存在。
• 即使包含非高斯酉操作，连续变量酉 $t$-设计在 $t \geq 2$ 时也不存在。
• 刚性 $2$-设计存在，并通过福克态和相位态显式构造，构成用于相位估计的最优正算子值测度（POVM）。
• 基于刚性 $2$-设计开发了一种用于CV态的基于设计的阴影层析协议，可高效估计低次多项式可观测量。
• 能量约束下的刚性设计定义了CV量子通道的平均保真度，其与CV纠缠保真度相关。
• 在 $\mathbb{C}^n$ 中存在完全互为正交基集合，当且仅当存在一个大小为 $n^2$ 的等权重 $n$-环面 $2$-设计，其相位可定义 $n$ 个正交基。